Fonction de classe C1

[Simpi]

Bonjour, il ya un exercice que je ne comprend pas bien les questions:
Soit la fonction definie sur par
et

1) La fonction est-elle continue sur

2) Calculer le gradiant de . La fonction est-elle de classe

3) la fonction est elle différentiable sur ?
Mes elements de reponse:
1) pour cette question RAS, j'ai montrer que la fonction est continue sur

Mon probleme se trouve pour le moment au niveau de la deuxieme question et la troisieme:
le cours me dit qu'une fonction est de classe si elle differentiable et de differentielle continue, je ne comprend pas la 2e question qui me demande de montrer que la fonction est et la 3e de montrer qu'elle differentiable.
Comment montrer qu'elle est sans montrer d'abord qu'elle differentiable?

[Ben314]

Salut,
Déjà et pour commencer, il me semble bien qu'il manque un point d'interrogation à la fin de la question 2).
Et si je dit ça, au cas où tu ne l'aurais pas compris..., c'est pour signler que la question ne demande pas de montrer que la fonction f est C1, mais demande si elle l'est ou si elle ne l'est pas.
Idem pour la question suivante qui, de nouveau et contrairement à ce que tu dit, ne demande pas de montrer qu'elle est différentiable mais demande si elle l'est ou si elle ne l'est pas.

Et je rajouterais bien que, justement, vu qu'on demande si elle est différentiable ou pas après avoir demandé si elle était C1 ou pas, sans même regarder la tête de la fonction, je mettrais une forte chance qu'elle ne soit pas de classe C1 vu que si elle l'était, la question 3) serait à peu près sans intérêt du fait que C1 => différentiable.

Bon, sinon, as-tu calculé le gradient (avec un e) de f ?

[Simpi]

Ok je comprend ce que vous dites mais le calcul du gradient revient au calcul des derivées partielles ou bien. Mon probleme est là, on fait le calcul des derivées parielles sans chercher meme à voir si la fonction est derivable(differentiable).
Néanmoins le calucul du gradient donne pour .
Pour , le calucl des derivées partielles en (0; 0) donne 0
donc
comment on a les derivés pariellles, ils nous reste à verifier la continuité des derivées parielles.
sur les derivées et sont des fonctions rationnelles, donc continues sur .
etudions maintenant la continuité en (0;0)
et on s’aperçoit que pour donc n'est pas continue en (0;0).
la fonction n'est donc pas de classe C^1 sur .

[Simpi]

Ok je comprend ce que vous dites mais le calcul du gradient revient au calcul des derivées partielles ou bien. Mon probleme est là, on fait le calcul des derivées parielles sans chercher meme à voir si la fonction est derivable(differentiable).
Néanmoins le calucul du gradient donne pour .
Pour , le calucl des derivées partielles en (0; 0) donne 0
donc
comment on a les derivés pariellles, ils nous reste à verifier la continuité des derivées parielles.
sur les derivées et sont des fonctions rationnelles, donc continues sur .
etudions maintenant la continuité en (0;0)
et on s’aperçoit que pour donc n'est pas continue en (0;0).
la fonction n'est donc pas de classe C^1 sur .

[Ben314]

C'est effectivement tout à fait ça :
(1) On a C1 => différentiable => les dérivées partielles (donc le gradient) existe.
mais les réciproques sont en général fausse.
(2) Et il y a un théorème qui te dit que C1 <=> (les dérivées partielles existent et sont continues)

Donc ici, pour le moment, on sait que les dérivées partielles existent (partout) mais que la fonction n'est pas C1 (en (0,0)) et avec uniquement ça, vu les implications du (1), on ne peut pas en déduire si elle est ou pas différentiable (en (0,0)).

En bref, il faut donc revenir à la définition de "être différentiable en (0,0)" pour savoir de quoi il retourne.