Ev normés et norme stricte

[Peezy]

Bonsoir,

Sur un exercice d'algèbre, on me demande de montrer l'équivalence suivante : une norme est stricte ssi la sphère unité ne contient pas de segments d'extrémités distinctes.

Je ne parviens pas à traduire mathématiquement le fait que la sphère unité contienne des segments d'extrémités distinctes,

Merci d'avance

[Kolis]

Bonsoir !
Que veux-tu dire par "norme stricte" ?

Dans pour la norme la sphère unité est dessinée par un carré : il y a alors des segments inclus dans la sphère.

Dans un evn quelconque, le segment d'extrémités est l'ensemble .
Il est alors facile d'écrire que ce segment est inclus dans la sphère unité :

[Peezy]

Merci pour la reponse,

j'entends par norme stricte : pour a, b non positivement colinéaires, on a N(x+y) < N(x) + N(y) (inégalité triangulaire mais stricte). Par exemple, la norme 2 (norme euclidienne) est stricte, mais la norme infinie ne l'est pas. Mon problème est de faire le lien entre les segments de la sphère et l'inégalité stricte.

[Ben314]

Salut,
On dit qu'une norme est "stricte" lorsque les seuls cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire sont ceux où les deux vecteurs sont colinéaires : ||u+v||=||u||+||v|| => u et v colinéaires.
Et effectivement, la "norme sup" sur R² est une norme "non stricte" alors que la norme euclidienne est "stricte".

Sinon, le fait que "la sphère unité contient des segments d'extrémités distinctes", ben ça veut dire qu'il existe deux éléments distincts x1 et x2 de la sphère tels que le segment [x1,x2] soit contenu dans la sphère.
Et le "segment [x1,x2]" c'est (par définition) l'ensemble des x1+t(x2-x1) avec t réel dans [0,1].

Et si ça peut t'aider, que peut tu dire de la norme de x1+x2 si x1, x2 ainsi que le milieu de [x1,x2] sont sur la sphère unité ?

[Peezy]

cela signifie donc que tout segment de la sphère unité pour une norme stricte est réduit à un point (puisque les extrémités ne sont pas distinctes) ?

[Ben314]

Personnellement, j'aurais plutôt formulé ça en disant qu'il n'y a pas de "vrai" segments (i.e. non réduit à un point) dans la sphère correspondant à une norme stricte, mais sinon 'est bien ça : dans un cercle (=sphère pour la norme euclidienne sur R² qui est bien stricte), tu ne peut pas trouver le moindre "vrai" segment, même très petit.

[Peezy]

Merci je crois commencer à comprendre, mais pourquoi est-ce que :
"le "segment [x1,x2]" c'est (par définition) l'ensemble des x1+t(x2-x1) avec t réel dans [0,1]" d'où vient cette définition et faut-il que je l'utilise pour démontrer mon équivalence ou dois-je me servir des milieux ?

[Ben314]

Cette définition, comme la plupart des définition, je sais pas "d'où elle vient" : elle colle parfaitement avec l'idée "naïve" de ce qu'est un segment à savoir le "morceau de droite" qui relie x1 à x2.

Après, vu que dans ce que tu as à démontrer, il y a le mot "segment", ben, oui, il me semble bien qu'il va falloir que tu utilise la définition de ce qu'est un segment (ou alors une ou des propriétés déjà démontrée concernant les segments, mais vu que tu ne semble pas trop voir ce que c'est, je sais pas si tu en a vu beaucoup).
Sinon, tu n'est pas obligé de te servir du milieu de [x1,x2] : tout autre point distinct des extrémité du segment peut aussi faire l'affaire, mais c'est le premier qui vient à l'esprit...

[zygomatique]

salut

Merci je crois commencer à comprendre, mais pourquoi est-ce que :
"le "segment [x1,x2]" c'est (par définition) l'ensemble des x1+t(x2-x1) avec t réel dans [0,1]" d'où vient cette définition et faut-il que je l'utilise pour démontrer mon équivalence ou dois-je me servir des milieux ?

n'as-tu pas vu au lycée que la droite (AB) est l'ensemble des points M tel qu'il existe un réel k tel que ?

qu'obtient-on si :

k < 0 ?
0 =< k =< 1 ?
k >= 1 ?