Explication de formule (seconde)

[Dorren]

Bonjour,

Lorsque l'on cherche l’abscisse du sommet d'une parabole (d'une fonction polynôme de degrés deux "ax²+bx+c")
on nous donne la formule "-b/2a" je cherche simplement a avoir la démonstration de celle-ci.

Merci d'avance.

[zygomatique]

salut

a est évidemment non nul ...



les étapes pour arriver à ce résultat :

tout nombre est le double de sa moitié
connaître le calcul algébrique
connaître les identités remarquables

...

[Dorren]

Je suis désolé mais je ne comprend pas ce que tu me dis dans ton message j'essaye juste de comprendre comment -b/2a est l’abscisse du sommet des paraboles des fonctions de polynôme de degrés deux.

Merci quand même.

[Lostounet]

Une vraie démonstration doit s'appuyer sur la dérivation ou bien la forme canonique.

Par contre, on peut le montrer sur un exemple c'est plus simple; on part du principe que un nombre au carré est le plus petit possible lorsque ce nombre est nul.

Soit f(x)= x^2- 4x + 5. Cette fonction admet un minimum. On a: a=1 ; b=-4 et c=5

On peut montrer que f(x)= (x-2)^2+1

Donc la quantité f(x) est minimale lorsque le nombre au carré (x-2) est nul. Donc lorsque x=2
Il se trouve que x=-b/2a=-(-4)/2=2

On peut désormais traiter le cas général en utilisant la formule donnée par zygomatique. La quantité que tu vois au carré entre les crochets doit être nulle si tu souhaites avoir un minimum (a>0) car si elle n'est pas nulle la quantité f(x) va augmenter...

[Dorren]

Merci beaucoup pour ta réponse juste une dernière question j'ai découvert en cherchant sur internet "le discriminant" (j'ai n'en ai pas entendu parler en seconde étrange !) et je me demandé si ce n’était pas tout simplement l'image de -b/2a ? (Puisque a partir des deux on connait le nombre de racine )

[Lostounet]

Bonne remarque.
Effectivement c'est lié, mais pas de cette manière. L'image de -b/2a est le discriminant divisé par -4a.
Le discriminant sert surtout à résoudre l'équation f(x)=0
Si tu prends la formule donnée par zygomatique = 0 alors tu auras une équation produit nul.

Donc forcément soit a=0 (pas possible) soit le terme entre crochets vaut 0.
À ce moment tu auras affaire à:
(X-b/2a)^2 - discriminant/4a^2 = 0

Donc (x-b/(2a))^2 = discriminant/4a^2

Si le discriminant est un nombre négatif cette équation n'a aucune solution car le membre de gauche est positif quel que soit x.

Tu verras tout cela l'an prochain!

[Razes]

Bonjour,

Lorsque l'on cherche l’abscisse du sommet d'une parabole (d'une fonction polynôme de degrés deux "ax²+bx+c")
on nous donne la formule "-b/2a" je cherche simplement a avoir la démonstration de celle-ci.

Merci d'avance.

, le sommet d'une parabole est le point où la dérivé s'annule, c'est à dire

[Dorren]

Bonne remarque.
Effectivement c'est lié, mais pas de cette manière. L'image de -b/2a est le discriminant divisé par -4a.
Le discriminant sert surtout à résoudre l'équation f(x)=0
Si tu prends la formule donnée par zygomatique = 0 alors tu auras une équation produit nul.

Donc forcément soit a=0 (pas possible) soit le terme entre crochets vaut 0.
À ce moment tu auras affaire à:
(X-b/2a)^2 - discriminant/4a^2 = 0

Donc (x-b/(2a))^2 = discriminant/4a^2

Si le discriminant est un nombre négatif cette équation n'a aucune solution car le membre de gauche est positif quel que soit x.

Tu verras tout cela l'an prochain!

Merci beaucoup en tout cas ! Si ce n'est pas trop compliqué tu peux m'expliquer comment le discriminant me sert a résoudre les racines ou sinon donne moi juste un exemple j’essayerai de comprendre.

[Dorren]

, le sommet d'une parabole est le point où la dérivé s'annule, c'est à dire

Merci pour ta reponse, mais je n'ai pas encore vu ca peut tu juste m'expliquer en quoi 2ax+b = 0 correspond au point d'inflexion ?

[zygomatique]

n'as-tu pas vu la forme canonique en seconde ?

[Dorren]

Non ce n'est plus dans le programme.

[zygomatique]

si c'est au programme de seconde ... mais on n'exige pas de savoir comment l'obtenir ... c'est pourquoi je ne t'ai pas mis les étapes mais quelques indications ...

mais l'obtention de cette forme canonique n'exige que des outils de collège (calcul littéral + identités remarquables)

par contre réfléchir te permettra de comprendre pourquoi elle répond à ta question .... (et c'est cela le travail mathématique)

[Pseuda]

Bonjour,

Il faut comprendre que le sommet d'une parabole correspond à un minimum ou à un maximum de la fonction. On cherche donc l'abscisse x tel que f(x) soit de cette façon.

Exemple :
f(x) = ; quel est le minimum de cette fonction ? pour quelle valeur de x ?
f(x) = ; quel est le maximum de cette fonction ? idem
f(x) = : quel est le minimum de cette fonction ? idem ; => la forme canonique est celle qui permet d'obtenir cette valeur.

Pour info, la forme canonique (ainsi que la forme développée et la forme factorisée d'un trinôme) est au programme de 2nde, mais pas la manière de l'obtenir, le discriminant est au programme de 1ère, comme les dérivées.

[Dorren]

Je viens de comprendre ta première réponse zygomatique, j'ai compris le rapport entre la forme canonique et l’abscisse du sommet de la parabole. Et du coup pour les racines aussi ! En tout cas merci pour vos réponse ça m'a été bien utile.

[Razes]

Au moins tu dois connaitre les identités remarquables. Nous avons : , on considère cela comme un acquis des classes précédentes.

Pour , nous avons


Exprimons autrement en utilisant l'identité remarquable. Posons :
Donc: Donc d'après l'identité remarquable nous donne :

D'où:

Le maximum ou le minimum de la parabole correspond à la nullité de l'expression , Donc à

[Dorren]

Exprimons autrement en utilisant l'identité remarquable. Posons :
Donc: Donc d'après l'identité remarquable nous donne :

Comment passe sais tu que (b/a)x=2xy je ne comprend pas ou tu peux utiliser l'identité remarque. Peut-tu m'expliquer cette etape ?

[Dorren]

En faite c'est bon je viens de comprendre tu a voulu pour m'expliquer remplacé b/2a par "y" comme dans l'identité remarquable plus haut et du coup je comprenais pas ce qu'il faisait là je croyais qu'il voulait dire: y=f(x)

[zygomatique]

Je viens de comprendre ta première réponse zygomatique, j'ai compris le rapport entre la forme canonique et l’abscisse du sommet de la parabole. Et du coup pour les racines aussi ! En tout cas merci pour vos réponse ça m'a été bien utile.

tu m'en vois ravi pour toi ...