Parralélogramme

[Hannaut]

Bonjour,

Aujourd'hui je m'intéresse aux démonstration de deux propriétés réciproques du parallélogramme vu en classe de 5ème qui pour le coup difficile à trouver sur le net.

P1 : Si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés de même longueur alors c'est un parallélogramme.
P2 : Si un quadrilatère (non croisé) a deux côtés de même longueur et parallèles alors c'est un parallélogramme.

Pré-requis
- Définition de la symétrie centrale
- Propriétés de la symétrie centrale (admis)
- Propriétés des angles (somme des mesures des angles, angles alternes-internes...), démontrées en activité.
- Définition du parallélogramme (côtés opposés parallèles)
- Propriétés directes du parallélogramme (tous démontrées en activités)
- Une propriété réciproque du parallélogramme (quadrilatère ayant les diagonales qui se coupent en leur milieu, démontrée en activité)

C'est la P2 qui me cause vraiment problème.
Pour P1 il suffit de dire que les triangles ABD et BCD sont superposables (pièce jointe) puis on utilise la propriété réciproque des angles alternes-internes.
Pour P2 j'ai cherché... J'ai trouvé une bonne démo ! mais c'est une méthode en utilisant les triangles isométriques (j'aimerais une méthode de 5ème)

[beagle]

P2 car P1 non?

[Pseuda]

Bonjour,

Pour P2, on peut étudier l'image de A par la symétrie de centre le milieu de [BD]. Hypothèses : (AB) // (CD) et AB = CD.

Par cette symétrie centrale, l'image de B est D, et l'image de (AB) est la droite parallèle à (CD) qui passe par D, donc c'est (CD) (propriété de la symétrie centrale : l'image d'une droite est une droite parallèle ; et par un point, il ne passe qu'une droite // à une droite donnée).

Puis, comme la symétrie centrale conserve aussi les longueurs, donc l'image de A est C' tel que DC = DC', ce qui définit 2 points sur (DC), dont un seul répond au problème posé, car A et C sont de part et d'autre de la droite (BD). c'est donc C. Donc [BD] et [AC] ont même milieu, etc...

[beagle]

tu peux démontrer P2 grace à P1.
Des deux cotés qui sont parallèles et de même longueur:
tu traces les deux droites parallèles
tu descends et monte les perpendiculaires aux droites partant des 4 points
alors l'égalité de longueur des deux autres segments s'obtient soit par des triangles semblables, soit pour rester dans l'exo, ces segments sont la diagonale de rectangles identiques, donc même longueur de diagonales.
donc maintenant P1

[Pseuda]

La même longueur de diagonale ne démontre pas que le quadrilatère est un parallélogramme ?

[beagle]

Mais P1 est fausse ? La même longueur de diagonale ne démontre pas que le quadrilatère est un parallélogramme ?

P1 c'est les cotés opposés sont égaux,
mais on parle des 4 cotés, il ya deux égalités de cotés opposés, et cela fait //

[Pseuda]

Ah oui, "a ses côtés opposés deux à deux de même longueur". Je rectifie.

Ta démonstration, c'est P1 à partir de P2, ou le contraire ? Pour la mienne, j'évite d'utiliser les perpendiculaires quand on peut faire autrement.

[beagle]

Ah oui, "a ses côtés opposés deux à deux de même longueur". Je rectifie.

Ta démonstration, c'est P1 à partir de P2, ou le contraire ? Pour la mienne, j'évite d'utiliser les perpendiculaires quand on peut faire autrement.

dans ce que j'ai proposé on démontre que les deux autres cotés sont égaux,
donc que P1 est réalisé, comme P1 a été démontré antérieurement, P2 est déduit de P1.

je n'utilise pas des perpendiculaires mais des angles alterne interne égaux,
nan c'est pour rire ...

[Pseuda]

Je plaisantais aussi (euh non, j'ai lu trop vite). Ce qui me gêne dans ta démonstration, c'est : "rectangles identiques". Il faut encore le démontrer.

[beagle]

Je plaisantais aussi (euh non, j'ai lu trop vite). Ce qui me gêne dans ta démonstration, c'est : "rectangles identiques". Il faut encore le démontrer.

Démontrer rectangles identiques:
égalité des largeurs et longueurs
égalité ensembliste : les deux rectangles qui se chevauchent sont constitués d'un rectangle central commun et des mèmes rectangles issus des cotés connus égaux.

Pour l'angle droit je ne sais pas si c'est grave,
ici on donne uniquement comme base la symétrie centrale,
mais il me semble que ma fille avait bossé la symétrie axiale avant la symétrie centrale.
Donc quoiquestconnu, quoiquonconnait ?