Enigme de mathématique 2

[DaxterMan]

Bonjour,
J'ai un problème avec une énigme (oui je sais ENCORE )
Voici l'énoncé:
Dans une ville à 4 sommets qui forment un rectangle, sur un des sommets se trouve la mairie, à l'opposé de celui-ci se trouve l'église et sur les deux autres se trouvent respectivement le cinéma et l'école.
Pierre se trouve dans ce rectangle, il est à 500m de la mairie, 1000m du cinéma et à 1400m de l'église.
A quelle distance de l'école se trouve Pierre.

Alors j'ai essayé de faire un schéma à l'échelle sans réussir puis j'ai essayé d'utiliser les formules d'Al Kashi mais je me suis rendu compte que je n'avais pas d'angle
Si quelqu'un peut m'aider ça m'aiderais beaucoup.
Merci

[laetidom]

Bonsoir,

Avec un peu de patience, je suis tombé sur une valeur de 1100m par rapport à l'école : http://www.cjoint.com/c/FCsvA6i28C7

Comment ai-je fais ? :

Point A (position de Pierre)

cercle (A ; 500)

cercle (A ; 1000)

cercle (A ; 1400)

Positionner un point quelconque V sur cercle (A ; 500)

une verticale jusqu'à cercle (A ; 1000) : on a la hauteur du rectangle

une horizontale jusqu'au cercle (A ; 1400) en W : on a la longueur du rectangle

Tracer une horizontale passant par V et une verticale passant par W et on obtient l'emplacement de l'ECOLE, reste à mesurer la distance ECOLE - A

En espérant avoir été clair, vu l'heure tardive pour des maths . . .

Bonne soirée.

[Ben314]

Salut,
Normalement, c'est un type d'exo. relativement simple qui ne demande qu'à connaitre Pythagore :
Si on note M,C,G,E les sommets du rectangle (G=église, E=école), a=EG=MC et b=EM=GC les cotés du rectangles et x et y les distances de E aux projetés respectifs du point cherché X sur les droites (EG) et (EM), on a les équations :




Et si on fait la première équation moins la deuxième plus la troisième, on trouve que ....

[laetidom]

En espérant retomber sur la valeur de Ben issue d'un système d'équations . . .

[DaxterMan]

Je n'ai pas compris ta technique Ben

[Ben314]

Tu prend un repère centré sur l'école E:(0,0) tel que l'église soit en G:(a,0) et la mairie en M:(0,b).
Donc le cinéma est en C:(a,b) et on dit que le point cherché est en X:(x,y) -> fait un dessin (j'ai la flemme...)
Tu as plus qu'à écrire les 3 formules donnant les distances entre deux points de coordonnés connues concernant MX, CX et GX (qui sont des applications directes du théorème de Pythagore) et, en les combinant, ça te donne la valeur de EX.

Plus précisément, EX²=MX²-CX²+GX².

Sinon, j'ai pas bien compris comment faisait laetidom, mais il faut faire attention au fait que de raisonner sur un exemple n'est pas suffisant vu qu'il y a une infinité de configurations possibles : vu les équations qu'on a, on ne peut pas calculer les valeurs de a et b ce qui signifie que, avec les infos. données par l'énoncé, il est par exemple impossible d'en déduire la distance École<->Église(=a), ni celle École<->Mairie(=b) (pas assez de données dans l'énoncé...)
Bref, il y a un espèce de "petit miracle" qui fait qu'on peut calculer EX alors qu'il y a des tas de configurations possible (mais quelque soit le dessin, EX aura toujours la même longueur)

[DaxterMan]

Ok
Merci tu m'as beaucoup aidé

[laetidom]

Bonjour à tous deux !,

Oui je me rends compte maintenant en vous lisant qu'il y a d'autres configurations . . . mais vous avez dégagé des résultats ? Mon 1100 m est faux . . . . ?

[Ben314]

Bonjour à tous deux !,

Oui je me rends compte maintenant en vous lisant qu'il y a d'autres configurations . . . mais vous avez dégagé des résultats ? Mon 1100 m est faux . . . . ?

Non, le 1100 il est juste, mais j'ai l'impression que tu raisonnet sur un cas particulier de configuration du rectangle, donc ça ne constitue pas une preuve.
A mon avis, il faudrait au minimum, faire 3 ou 4 configurations différentes pour commencer à "sentir" que, quelque soit la configuration, la longueur est toujours de 1100m (je vois pas comment on peut le "sentir" avec un seul dessin)

[Dzp]

Bonjour,
La construction de Leatidom respecte à chaque instant les hypothèses du problème :
1- le point V (mairie) est à 500 m. de Pierre.
2- le point H (cinéma), intersection d'une verticale passant par V (en fait, une droite quelconque) avec le cercle de rayon 1000 est à 1000 m. de Pierre
3- l'intersection de l'horizontale (le village a une forme rectangulaire) passant par H avec le centre de rayon 1400 positionne parfaitement l'église.
4- l'école se trouve à l'intersection de l'horizontale passant par V et de la verticale passant par l'église.

Puisque Pierre se trouve à l'intérieur du rectangle, la solution de cette construction est unique.
Il n'est pas demandé de trouver les dimensions du village, seulement la distance de Pierre à l'école.
L'astuce consiste naturellement à démarrer d'un point V quelconque sur le cercle passant par la mairie et ensuite de respecter les données du problème.

[Ben314]

Puisque Pierre se trouve à l'intérieur du rectangle, la solution de cette construction est unique. <- FAUX

Et, pour la je sais pas combien ième fois (et c'est la dernière), tout ce que ça prouve c'est qu'il est possible que Pierre soit à 1100m de l'École, mais ça ne prouve absolument pas qu'il est forcément à cette distance là.

[chan79]

salut
Je commencerais par diviser les distances par 100
La mairie et l'église sont des sommets opposés.
Avec, a, b, c et d les distances de Pierre aux (bons) côtés:
a²+b²=25
100=b²+c²
c²+d²=196
Par addition, a²+d²=121
etc

[laetidom]

Merci beaucoup pour vos réponses de qualité, je vais revoir tout ça ! Merci, bon dimanche !