Question

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
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nuage
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Re: question

par nuage » 10 Fév 2016, 23:47

Salut,
je reviens après quelques années d'absence, et je tombe sur ce fil passionnant.

Il y a longtemps, à la fin du vingtième siècle, l'analyse non standard fut à la mode. Là il y a des infiniment grands et des infiniment petits. Et ils sont mathématiquement corrects.

J'ai alors essayé de faire un cours en l'utilisant.

C'est vrai qu'il semble facile de dire que est la somme d'un nombre infiniment grand de rectangles de largeur infiniment petite. Et c'est encore mieux pour les équations différentielles.
Le problème est de justifier ce que l'on dit, et ce fut beaucoup trop difficile pour moi.
J'ai laissé tomber pour la présentation classique.

Mais j'ai bien dû dire ce genre de choses au moins une fois. :rouge:

Mais des confusions, il y en a plein dans le langage mathématique. Par exemple, "x est inférieur à 3", est-ce que c'est inférieur ou égal, inférieur strictement à 3 ? Est-ce qu'on s'interdit de parler de "supérieur" ou d'"inférieur" pour autant ?
En principe il n'y a pas de confusion.
En France « x est inférieur à 3 » signifie



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Re: question

par JaCQZz » 11 Fév 2016, 00:33

L'analyse non standard est, en effet, celle qui collera le plus à la réalité en différenciant les ordres de grandeurs.
On peut assimiler l'infini à la valeur de température qui cassera le thermomètre, en dépassant les graduations.
Rappelons que l'élève qui ne se tromperait guère verrait l'infini telle l'absence de limite en ajouts et en retraits.

Pseuda
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Re: question

par Pseuda » 11 Fév 2016, 11:45

beagle a écrit:avant-dernière?
Quelle confusion, quelle gène as-tu rencontré avec les élèves du supérieur ensuite avec une "telle notion en tète"?

Bonjour,

Merci Beagle pour ta question. Grâce à toi, j'ai ENFIN pu comprendre ce que voulait dire Ben avec les erreurs que le vocable "infiniment petit" suscitaient chez les élèves.

En effet, je n'aurais jamais pu imaginer que l'on puisse accoler les mots "nombre", un nombre c'est un nombre, c'est statique, avec les mots "infiniment grand", qui est un mouvement, qui tend vers, c'est dynamique. Pour moi, ces 2 expressions sont antinomiques. Et je pense que ça l'est dans la tête de la plupart des élèves.

Mais peut-être pas en effet (bien que je ne l'ai perso jamais rencontré, mais je n'ai pas l'expérience de Ben, loin de là). Et je ne mettrais pas ma main à couper que je n'ai jamais employé cette expression, parce que pour moi il n'y avait pas de confusion possible, c'était l'évidence même qu'un "nombre" ne peut pas être "infiniment grand".

Faut-il abandonner l'expression "infiniment grand" pour autant ? Pour les quelques (rares il me semble) élèves qui vont faire la confusion ?

Je ne pense pas. A la lumière de tout cela, ce qu'il faut bannir à mon sens du vocabulaire des mathématiques, c'est l'expression "nombre infiniment grand", pas l'expression "infiniment grand".

A propos de l'exemple cité par Ben, un de mes élèves en TeS m'a demandé récemment comment on faisait pour démontrer que la suite (-1)^n n'avait pas de limite. Je lui ai parlé de "sous-suites" qui tendaient chacune vers une valeur différente (soit un boulgi-bougla pour parler comme Robot), et il a parfaitement compris.

Merci encore à toi, je vais pouvoir passer à autre chose.

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Re: question

par beagle » 11 Fév 2016, 12:40

Bah merci à toi et à Ben314.
Le plus bel hommage est venu hier soir de nuage.
Nuage dont j'ai toujours apprécié les réponses maths sait ètre sec pour dire qu'une discussion est nulle,
or voici ce qu'il a dit hier soir:"et je tombe sur ce fil passionnant".
Sur un plan personnel je suis passé du début du fil d' une très faible compréhension de ce dont vous parliez à des choses très intéressantes que je n'ai pu comprendre que grace à votre débat.
Et je trouve que la dernière réponse de Ben314 dont il nous dit qu'il pourrait donner encore des tonnes d'exemples est une des plus intéressantes.C'est ce que je voulais dire , nous apprenons de nos erreurs, et de celle des autres si on réfléchit dessus.
A mes yeux le forum a toujours manqué de débat pédagogique (à l'origine j'étais venu pour cela, apprendre quoi , comment le faire apprendre, pour aider ma gamine ...bon après le virus des maths de mon enfance est revenu et je lis cela j'essaye de résoudre des trucs quand le temps pour moi-même ...).
Donc je pense que c'est un bon fil.
Et d'ailleurs je pense que ta relance pour dire que les erreurs révélées par Ben314 peuvent venir d'autres cotés est tout à fait judicieuse.Et voilà bien de quoi il pourrait ètre débattu par moment sur ce forum.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

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Re: question

par Robot » 11 Fév 2016, 12:49

@PSEUDA
1°) C'est gloubi-boulga et pas boulgi-bougla (quel manque de culture !)
2°) Le fait que la suite ait deux sous-suites convergeant vers deux limites différentes n'est pas du gloubi-boulga, contrairement à ton texte que j'avais qualifié de tel. Et c'est bien sûr complètement différent de l'erreur que signale Ben.

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Re: question

par Doraki » 11 Fév 2016, 13:43

PSEUDA a écrit:Je ne pense pas. A la lumière de tout cela, ce qu'il faut bannir à mon sens du vocabulaire des mathématiques, c'est l'expression "nombre infiniment grand", pas l'expression "infiniment grand".


il faut presque remplacer "infiniment grand" par "prend des valeurs arbitrairement grandes".

garder "infiniment grand" comme adjectif que tout le monde va vouloir appliquer aux trucs qui sont "grands" (comme les nombres, si t'es des nombres grands, et qu'il y a des trucs infiniment grands, les gens vont te dire qu'il y a des nombres infiniment grands), c'est pas une bonne idée.

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Re: question

par Pseuda » 11 Fév 2016, 20:47

nuage a écrit:C'est vrai qu'il semble facile de dire que est la somme d'un nombre infiniment grand de rectangles de largeur infiniment petite. Et c'est encore mieux pour les équations différentielles.
Le problème est de justifier ce que l'on dit, et ce fut beaucoup trop difficile pour moi.
J'ai laissé tomber pour la présentation classique.

Mais j'ai bien dû dire ce genre de choses au moins une fois. :rouge:

Bah, j'ai bien dû le dire aussi. C'est ce qu'on appelle un "abus de langage".
Mais de là, à substituer par "prend des valeurs arbitrairement grandes", comme le propose Doraki, pourquoi pas, mais chassez le naturel...

Dans cet ordre d'idées, on a aussi :
un nombre variable (de possibilités) ; est-ce qu'un nombre, c'est variable ? je ne saurais dire
un nombre indéterminé (de personnes) ; un nombre, c'est déterminé
un certain nombre ou un nombre certain (qui ne veut pas dire la même chose)
un nombre rouge ou vert( euh non)
la valeur que prend la fonction en un point (est-ce pour ça que les élèves s'emmêlent entre l'abscisse x et l'ordonnée f(x) du point ?)
....
Bref, on peut chipoter. Tant pis pour ceux qui ne comprennent pas (euh non) . :lol:

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Re: question

par beagle » 11 Fév 2016, 21:24

"un nombre rouge ou vert( euh non)"
dans ce fil j'ai additionné les entiers rouge avec les entiers verts, c'était pour avoir un ensemble (IN + IN),
vu que syrac disait que l'addition dans les ensembles infinis est une erreur (sic!)
et dans un autre fil Ben314 repeint les 5 dés, il repeint les faces, mais il pourrait repeindre les nombres inscrits sur les faces...

Sinon si tu as lu l'excellent livre:" je suis né un jour bleu",de Daniel Tammet
pour le type les nombres ont des couleurs différentes
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

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Re: question

par JaCQZz » 12 Fév 2016, 00:11

Justement, il y a deux dicos aujourd'hui et donc deux bases de données pour les langages maths et physiques.
En maths: l'infini en tant que nombre existe et il suffit pour l'employer d'aller dans ses référentiels à axiomes.
En physique: l'infini en tant que nombre n'existe pas; c'est la limite numérique qu'atteint la capacité de calcul.
Rien n'est moins intuitif que les opérations sur les limites et rien n'est plus intuitif que le taux d'accroissement .

Robot

Re: question

par Robot » 12 Fév 2016, 00:51

Mollo sur le fumage de moquette, JaCQZz ! ;)

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Re: question

par Pseuda » 12 Fév 2016, 12:25

JaCQZz a écrit:Justement, il y a deux dicos aujourd'hui et donc deux bases de données pour les langages maths et physiques.
En maths: l'infini en tant que nombre existe et il suffit pour l'employer d'aller dans ses référentiels à axiomes.
En physique: l'infini en tant que nombre n'existe pas; c'est la limite numérique qu'atteint la capacité de calcul.
Rien n'est moins intuitif que les opérations sur les limites et rien n'est plus intuitif que le taux d'accroissement .

??? en tout cas, pas dans la construction du corps R.

Pour relancer le débat, c'est une question qui revient souvent : pourquoi +oo n'est pas considéré comme un nombre, alors que 0 l'est ?

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Re: question

par beagle » 12 Fév 2016, 12:38

PSEUDA a écrit:
JaCQZz a écrit:...Pour relancer le débat, c'est une question qui revient souvent : pourquoi +oo n'est pas considéré comme un nombre, alors que 0 l'est ?


Parce que zéro est fini.Quand tu as tout fini ton boulot, il reste zéro à faire, t'as fini.

Ceci dit il ya quelques années sur ce forum j'avais fait un tabac en plaidant l'existence de 2 zéros différents,
le zéro de 1/ infini et le zéro de l'ensemble vide, le zéro du truc qui n'existe pas.Inutile de te dire que je n'avais pas été suivi, hihi!Le premier multiplié par l'infini redonnait le 1, versus le zéro de l'ensemble vide répété à l'infini restait à zéro.Non ne tapez pas, pas sur la tète,...
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Re: question

par Ben314 » 13 Fév 2016, 14:30

Concernant l'analyse non standard (où exceptionnellement je sais très bien de quoi je parle), j'aurais bien aimé savoir ce que ça avait donné "l'expérience" faite par .... (biiiiip) dans la fac (française) de .... (biiiiip) consistant a introduire très tôt l'analyse non standard.
Perso., je n'essayerais surement pas : il faut évidement parler dés le début du prédicat "être standard", ne serait ce que pour pouvoir dire qu'un entier illimité est un entier plus grand que tout les entiers standards.
Sauf qu'il me semble possible que, parmi les étudiants, il y en ait un "un peu dégourdi" qui te dise (texto) :
Si j'ai bien compris, l'entier 0 est "standard" et, si n est un entier "standard", alors n+1 est lui aussi "standard" donc selon le principe bien connu...

Et là, tu es très très mal barré vu qu'il va falloir parler de "ce qui fâche", à savoir que "l'ensemble" des entiers standards n'est en fait... pas un ensemble, et donc que le principe de récurrence ne s'applique pas à un tel truc (dit avec les "vrais mots", c'est un ensemble externe et le principe de récurrence ne marche qu'avec des ensembles internes)
Évidement, on peut faire une prière pour espérer que personne ne pose la "question qui tue" (celle ci dessus ou des tas d'autres du même style), mais elle est quand même pas bien compliquée la "question qui tue"...
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Re: question

par JaCQZz » 14 Fév 2016, 11:29

PSEUDA a écrit:??? en tout cas, pas dans la construction du corps R.


La curiosité est le propre de l'éveil. Pas en terminale ? Il est possible de partitionner l'ensemble des réels en :
- les infinitésimaux ou infiniment petits, inférieurs en valeur absolue à tout réel standard strictement positif. À part 0, ils sont non standard. x – y infinitésimal est noté x ≈ y. On dit que x et y sont ici des infiniment proches.
- les illimités, supérieur en valeur absolue à tout réel standard. Non standard, leurs inverses sont infinitésimaux.
- les appréciables. Les appréciables et les infinitésimaux constituent ce qu'on appelle les réels limités . Cf. l'ANS.

L'ensemble R des nombres réels standards s'avère complété de la sorte par les nombres dénommés hyperréels : infiniment petits (dits infinitésimaux) ou infiniment grands. Tout nombre distinct de ceux-ci sont dits standards.

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Re: question

par Ben314 » 14 Fév 2016, 12:19

Je le (re)dit, mais, a mon avis, le "léger" problème, c'est que pour expliquer à un "néophyte" que, par exemple, le "truc" constitué de tout les réels infinitésimaux (ou de tout les réels appréciables ou de tout les entiers illimités ou ...) , c'est pas un ensemble, ça me semble pas bien facile.

Le fait qu'il y a des "trucs" qui ne sont pas des ensemble (i.e. qui ne vérifient pas les propriétés usuelles des ensembles), tu présenterais ça comment JaCQZz ?

JaCQZz a écrit:...les nombres dénommés hyperréels : infiniment petits (dits infinitésimaux) ou infiniment grands. Tout nombre distinct de ceux-ci sont dits standards.
Sinon, ça, c'est faux : si on ajoute à un réel standard non nul X un infinitésimal alors la somme n'est clairement ni standard, ni infinitésimale, ni infiniment grande (on dit en général que c'est un hyperréel "limité" dont "l'ombre" est le réel standard X : cette "ombre" est unique)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

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Re: question

par Pseuda » 14 Fév 2016, 15:05

Ben314 a écrit:non, en math, il n'y a pas d'infiniment grand : Weierstrass et Cauchy les ont foutu a la porte il y a environ 200 ans et tout le monde les en a remercié.


PSEUDA a écrit: CNRS :
2. MATH., PHYS., BIOL.

Infiniment grand. ,,Plus grand que toute quantité donnée. − Ne se dit que des grandeurs considérées comme variables, et même plus spécialement d'un nombre qui s'accroît indéfiniment. − On ne dit pas usuellement de l'espace qu'il est « infiniment grand », mais qu'il est infini`` (Lal. 1968). On dit qu'une quantité infiniment grande tend vers l'infini (→ ∞)


Sylviel a écrit:Si si il y a une vérité en mathématique : un théorème est vrai ou faux. Par contre parmis les hypothèses du théorème il faudrait (et c'est souvent non mentionné) préciser les axiomes que l'ont choisit

Mieux vaut en rire. Un nouveau paradoxe lié à l'infini.... :hehe:

Plus sérieusement, le vrai paradoxe de l'infini, à mon sens, c'est que deux ensembles en correspondance bi-univoque peuvent être inclus strictement l'un dans l'autre :
- entiers naturels et entiers pairs,
- entiers naturels et rationnels,
- ]3,4[ et R,
- un demi-cercle ouvert et une droite,
...
Les éléments de ces ensembles peuvent être appariés un pour un. Inconcevable... :frime:

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Re: question

par Pseuda » 14 Fév 2016, 15:12

JaCQZz a écrit:
PSEUDA a écrit:??? en tout cas, pas dans la construction du corps R.


La curiosité est le propre de l'éveil. Pas en terminale ? Il est possible de partitionner l'ensemble des réels en :
- les infinitésimaux ou infiniment petits, inférieurs en valeur absolue à tout réel standard strictement positif. À part 0, ils sont non standard. x – y infinitésimal est noté x ≈ y. On dit que x et y sont ici des infiniment proches.
- les illimités, supérieur en valeur absolue à tout réel standard. Non standard, leurs inverses sont infinitésimaux.
- les appréciables. Les appréciables et les infinitésimaux constituent ce qu'on appelle les réels limités . Cf. l'ANS.

L'ensemble R des nombres réels standards s'avère complété de la sorte par les nombres dénommés hyperréels : infiniment petits (dits infinitésimaux) ou infiniment grands. Tout nombre distinct de ceux-ci sont dits standards.

Je ne connais pas l'analyse non standard. Il faut supposer que ce que tu appelles les nombres réels standards, ce sont les nombres réels. Sinon, ça se mord la queue.
De ta définition, les seuls infinitésimaux et illimités que je vois, ce sont 0 et +oo.

Je plains les pauvres étudiants-cobayes (dont parle Ben) qui ont commencé l'analyse par là , parce que ça m'a l'air complétement contre-intuitif. Peut-être que pour des développements ultérieurs, cette analyse présente un certain intérêt, mais pas de prime abord.

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Re: question

par JaCQZz » 14 Fév 2016, 15:32

Ben314 a écrit:Le fait qu'il y a des "trucs" qui ne sont pas des ensembles (i.e. qui ne vérifient pas les propriétés usuelles des ensembles), tu présenterais ça comment JaCQZz ?

Si on évoque la complétude des modèles vs celle d'ensembles, vous êtes mal barré avec les théorèmes de Gödel.
Ben314 a écrit:Sinon, ça, c'est faux : si on ajoute à un réel standard non nul X un infinitésimal alors la somme n'est clairement ni standard, ni infinitésimale, ni infiniment grande (on dit en général que c'est un hyperréel "limité" dont "l'ombre" est le réel standard X : cette "ombre" est unique)

Il est incorrect de tronquer les phrases d'autrui afin de les prendre ensuite pour la partie qui leur fera défaut.
Relire ce qui précède de l'appréciable. La frontière entre les nombres standards et non standards sont floues. En revanche, la frontière entre les nombres appréciables et les infinis d'hyperréels de sont assez limpides.

Un nombre hyperréel x est dit infinitésimal ou infiniment petit, si |x| est inférieur à tout réel strictement positif ; infiniment grand si 1/x est infinitésimal ; or, il est appréciable s'il n'est ni infiniment petit et ni infiniment grand.

Pour tout x appréciable, il existe un réel unique, la partie standard (ou l'ombre) de x, noté x* ( unique, par le théorème des segments emboîtés), tel que x-x* soit infinitésimal ; l'écriture en x*+ε de tout nombre hyperréel non infiniment grand proviendra d'une simple dichotomie (dans ℝ) autorisée par l'ordre qui est total sur *ℝ.
Modifié en dernier par JaCQZz le 14 Fév 2016, 15:49, modifié 4 fois.

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Re: question

par JaCQZz » 14 Fév 2016, 15:43

beagle a écrit:Plus petit que toute mesure possible c'est de la physique, pas des maths ...pour le langage commun?

L'usage d'une langue à la place de la symbolique totale avec uniquement des quantificateurs mène à de la PNL !

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Re: question

par Ben314 » 14 Fév 2016, 15:56

PSEUDA a écrit:
Ben314 a écrit:Les éléments de ces ensembles peuvent être appariés un pour un. Inconcevable... :frime:
C'est (forcément) un problème de génération (et donc de façon dont les trucs ont été enseignés), mais avec la vision de "patatoïdes" de mon époque, je me rappelle très bien un prof (au collège) nous dire que, si tu mesure un truc qui en mètre a une mesure théorique (i.e. mathématique)dans [0,1], alors il est bien clair qu'en centimètres il a une mesure dans [0,100] et que tu en déduit on ne peut plus "intuitivement" qu'il y a "autant" de réels entre 0 et 1 qu'entre 0 et 100.
Idem (toujours au collège) où on se gênait pas pour dire qu'une bête homothétie du plan c'était une bijection, qui, très clairement, pouvait envoyer des trucs sur d'autre "plus petit" ou "plus gros" et je crois pas que qui que ce soit y voyait un truc "inconcevable" comme tu dit.
Perso., dans ma scolarité, ce qui m'a fortement surpris, c'est plutôt "le contraire", c'est à dire de voir (en licence ou en maitrise, je sais plus), que, contrairement a ce dont j'étais persuadé depuis longtemps, la notion de bijection sur les ensembles infinis puisse, comme dans le cas fini, servir à "plus ou moins" compter les éléments.
C'était évidement le jour où on m'a présenté formellement la notion d'ordinal (comme quotient de la classe des ensembles bien ordonnés) puis celle de cardinal (comme une partie de la classe des ordinaux).
Mais je dirait pas trop que c'était "naïf" comme truc : il faut quand même déjà avoir un peu compris le B-A-BA de la théorie des ensembles pour voir qu'on joue un peu avec le feu (vu que les truc en question ne sont pas des ensembles), et avoir un peu compris le statut "bizarre" de l'axiome du choix indispensable pour montrer que deux ensembles quelconques sont toujours "comparables" : je sais pas si "monsieur tout le monde" est à même d'appréhender ces deux problèmes...
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