Application ouverte

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nikoch
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Application ouverte

par nikoch » 30 Déc 2015, 02:35

Bonjour.
Je bloque sur un exercice. Je n'ai aucun élément de cours sur les applications ouvertes et fermés, j'ai simplement l'énoncé d'un exercice qui me donne la définition d'une application ouverte et d'une application fermée. A une question, on me demande de montrer que la projection de X*Y dans X est une application ouverte.. Pourriez vous m'indiquer de quelle façon m'y prendre ? Merci d'avance :)



MouLou
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par MouLou » 30 Déc 2015, 03:06

Salut. Tu mets quelle topologie sur X*Y? Si t'as la topologie produit, il suffit de dire ce qu'est un ouvert de X*Y et le fait que la projection est une application ouverte en découlera.

nikoch
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par nikoch » 30 Déc 2015, 03:16

MouLou a écrit:Salut. Tu mets quelle topologie sur X*Y? Si t'as la topologie produit, il suffit de dire ce qu'est un ouvert de X*Y et le fait que la projection est une application ouverte en découlera.


Il s'agit bien d'un produit, mais je ne comprend pas très bien ce que tu veux dire ..

MouLou
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par MouLou » 30 Déc 2015, 03:17

Comment caracterises tu les ouverts de X*Y? Dans la topologie produit j'entends

nikoch
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par nikoch » 30 Déc 2015, 11:35

MouLou a écrit:Comment caracterises tu les ouverts de X*Y? Dans la topologie produit j'entends

Pour caractériser un ouvert, je dis qu'il existe une boule ouverte qui est contenue dans cet ensemble. Ou alors j'ai pensé passer par l'image inverse d'une application continue, mais je n'arrive pas à aboutir à quelque chose ..

MouLou
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par MouLou » 30 Déc 2015, 11:50

As tu déjà entendu parler de topologie produit? Ou alors tu parles d'une boule, c'est que tu parles de distance. Comment definies tu ta distance sur X*Y?

nikoch
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par nikoch » 30 Déc 2015, 12:54

MouLou a écrit:As tu déjà entendu parler de topologie produit? Ou alors tu parles d'une boule, c'est que tu parles de distance. Comment definies tu ta distance sur X*Y?

J'ai entendu parler de sous-espace produit en topologie. Il n'y a aucune indication sur une quelconque distance dans l'énoncé de l'exercice, je pense qu'il faut poser tout ça

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Ben314
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par Ben314 » 30 Déc 2015, 13:20

Salut,
Bon, reprenons les choses à la base :
- Tu es bien d'accord que, vu la définition, pour montrer qu'une application f:A->B est ouverte, il faut avoir des topologies sur les ensembles A et B.
- J'espère que c'est aussi clair que le fait que f:A->B est ouverte ou pas, ça va dépendre des topologies qu'on a mise sur A et B. Par exemple, si on met la topologie discrète sur B, f va forcément être ouverte alors que si on met la topologie grossière sur B, y'a peu de chance que f soit ouverte.

BILAN : concernant ta fonction f : XxY -> X pour voir si elle est ouverte ou pas, ben il faudrait non seulement avoir des topologies sur les ensembles X et XxY, mais il faudrait aussi qu'il y ait un lien entre ces topologies vu que si la topologie sur X et celle sur XxY sont absolument quelconque, on risque pas de savoir si f est ouverte ou pas !!!!
Donc il faudrait que tu creuse un peu ta mémoire pour savoir si, une fois qu'on a muni deux ensembles X et Y d'une topologie on t'aurais pas parlé à un moment donné d'une topologie "naturelle" qu'on mettrait sur l'espace produit XxY (et qui dépendrait évidement des topologies mises sur X et sur Y)

P.S. Si ton cours ne parle que d'espaces métriques, remplace tout les mots "topologie" par "métrique" ci dessus : ça ne change rien au problème.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

nikoch
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par nikoch » 30 Déc 2015, 14:20

Ben314 a écrit:Salut,
Bon, reprenons les choses à la base :
- Tu es bien d'accord que, vu la définition, pour montrer qu'une application f:A->B est ouverte, il faut avoir des topologies sur les ensembles A et B.
- J'espère que c'est aussi clair que le fait que f:A->B est ouverte ou pas, ça va dépendre des topologies qu'on a mise sur A et B. Par exemple, si on met la topologie discrète sur B, f va forcément être ouverte alors que si on met la topologie grossière sur B, y'a peu de chance que f soit ouverte.

BILAN : concernant ta fonction f : XxY -> X pour voir si elle est ouverte ou pas, ben il faudrait non seulement avoir des topologies sur les ensembles X et XxY, mais il faudrait aussi qu'il y ait un lien entre ces topologies vu que si la topologie sur X et celle sur XxY sont absolument quelconque, on risque pas de savoir si f est ouverte ou pas !!!!
Donc il faudrait que tu creuse un peu ta mémoire pour savoir si, une fois qu'on a muni deux ensembles X et Y d'une topologie on t'aurais pas parlé à un moment donné d'une topologie "naturelle" qu'on mettrait sur l'espace produit XxY (et qui dépendrait évidement des topologies mises sur X et sur Y)

P.S. Si ton cours ne parle que d'espaces métriques, remplace tout les mots "topologie" par "métrique" ci dessus : ça ne change rien au problème.

Je crois avoir compris, la réponse viendrai donc du fait que si A*B est un ouvert de X*Y, alors A est ouvert dans X et B est ouvert dans Y, et il y a même équivalence, c'est bien ça ?

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Ben314
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par Ben314 » 30 Déc 2015, 22:39

On va dire que c'est plus ou moins ça, modulo l'erreur (archi classique) consistant à penser que les seules parties d'un produit XxY sont de la forme AxB.
Par exemple, dans R², tu n'a jamais entendu parler de formes géométriques autres que des rectangles ?
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par nikoch » 31 Déc 2015, 17:10

Ben314 a écrit:On va dire que c'est plus ou moins ça, modulo l'erreur (archi classique) consistant à penser que les seules parties d'un produit XxY sont de la forme AxB.
Par exemple, dans R², tu n'a jamais entendu parler de formes géométriques autres que des rectangles ?

Une parabole est une partie de R^2 non ?
Donc, pensez vous que la justification que je viens de donner est suffisante pour répondre à mon problème ?

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par nikoch » 31 Déc 2015, 17:13

nikoch a écrit:Une parabole est une partie de R^2 non ?
Donc, pensez vous que la justification que je viens de donner est suffisante pour répondre à mon problème ?

Mais une parabole est automatiquement une partie fermé de R^2, donc si on considère une partie ouverte de X*Y ma justification est juste à mon avis ..

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Ben314
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par Ben314 » 31 Déc 2015, 17:14

nikoch a écrit:Donc, pensez vous que la justification que je viens de donner est suffisante pour répondre à mon problème ?
Si tu parle de ça :
nikoch a écrit:Si A*B est un ouvert de X*Y, alors A est ouvert dans X et B est ouvert dans Y, et il y a même équivalence, c'est bien ça ?
non, ça va pas vu que les ouverts de XxY ne sont pas tous de la forme AxB.
Par exemple, dans R² (muni de la topo usuelle), un disque ouvert, c'est un ouvert et comme c'est pas "rectangulaire", c'est pas de la forme AxB avec A et B des parties de R.
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par nikoch » 31 Déc 2015, 17:16

Ben314 a écrit:Si tu parle de ça :non, ça va pas vu que les ouverts de XxY ne sont pas tous de la forme AxB.
Par exemple, dans R² (muni de la topo usuelle), un disque ouvert, c'est un ouvert et comme c'est pas "rectangulaire", c'est pas de la forme AxB avec A et B des parties de R.

Mince .. Donc comment pourrais-je procéder ? Ce serai intéressant pour moi d'avoir une idée de a réponse, car j'ai partiel dès lundi, et je n'ai pas trop le temps de me pencher sur la question ..

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par Ben314 » 31 Déc 2015, 17:34

Si X et Y sont deux espaces topologique, la topologie sur XxY induite par celle de X et de Y est effectivement telle que les parties de XxY de la forme AxB avec A et B des ouverts de X et de Y vont être des ouverts de XxY, mais ça ne peut pas être que ça l'ensemble des ouverts de XxY vu que ce n'est pas stable par réunion (la réunion de deux rectangles n'est en général pas un rectangle) alors que la stabilité par réunion fait parti des axiomes.
Donc on a du t'apprendre que, par définition, la topologie sur XxY induite par celle de X et de Y, c'est celle engendrée par les AxB où A et B sont des ouverts de X et de Y, c'est à dire qu'une partie de XxY est un ouvert ssi c'est une réunion (éventuellement infinie) de parties de la forme AxB avec A et B ouverts respectifs de X et de Y.

Bilan : si O est un ouvert quelconque de XxY alors où I est un ensemble quelconque (fini ou pas), les sont des ouverts de X et les des ouverts de Y.
C'est quoi (où ) ?
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nikoch
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par nikoch » 31 Déc 2015, 17:40

Ben314 a écrit:Si X et Y sont deux espaces topologique, la topologie sur XxY induite par celle de X et de Y est effectivement telle que les parties de XxY de la forme AxB avec A et B des ouverts de X et de Y vont être des ouverts de XxY, mais ça ne peut pas être que ça l'ensemble des ouverts de XxY vu que ce n'est pas stable par réunion (la réunion de deux rectangles n'est en général pas un rectangle) alors que la stabilité par réunion fait parti des axiomes.
Donc on a du t'apprendre que, par définition, la topologie sur XxY induite par celle de X et de Y, c'est celle engendrée par les AxB où A et B sont des ouverts de X et de Y, c'est à dire qu'une partie de XxY est un ouvert ssi c'est une réunion (éventuellement infinie) de parties de la forme AxB avec A et B ouverts respectifs de X et de Y.

Bilan : si O est un ouvert quelconque de XxY alors où I est un ensemble quelconque (fini ou pas), les sont des ouverts de X et les des ouverts de Y.
C'est quoi (où ) ?

S'agit-il de l'union des Ai ?

nikoch
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par nikoch » 31 Déc 2015, 17:43

Cette définition m'embête, car je l'ai vu en module "théorie de la mesure et intégration", mais dans ce module, on ne parle pas d'ouvert et de fermé, c'est uniquement dans mon module "topologie et espace métrique" qu'on aborde les ouverts et les fermés ..

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par Ben314 » 31 Déc 2015, 18:26

nikoch a écrit:S'agit-il de l'union des Ai ?
Oui : l'image directe d'une réunion est égale à la réunion des images directes et l'image de AixBi est évidement Ai.

nikoch a écrit:Cette définition m'embête, car je l'ai vu en module "théorie de la mesure et intégration", mais dans ce module, on ne parle pas d'ouvert et de fermé, c'est uniquement dans mon module "topologie et espace métrique" qu'on aborde les ouverts et les fermés ..
Il me semble bien évident que, si tu ne connais pas la définition de la topologie que l'on met sur XxY, tu ne risque pas de répondre à la question posée...

Par contre, si on se place uniquement dans le contexte des espaces métriques, on peut définir la topologie sur XxY à l'aide d'une des métriques suivntes :
-
-
-
puis montrer que ces distances sont équivalentes donc définissent les mêmes ouverts.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

nikoch
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par nikoch » 31 Déc 2015, 19:13

Ben314 a écrit:Oui : l'image directe d'une réunion est égale à la réunion des images directes et l'image de AixBi est évidement Ai.

Il me semble bien évident que, si tu ne connais pas la définition de la topologie que l'on met sur XxY, tu ne risque pas de répondre à la question posée...

Par contre, si on se place uniquement dans le contexte des espaces métriques, on peut définir la topologie sur XxY à l'aide d'une des métriques suivntes :
-
-
-
puis montrer que ces distances sont équivalentes donc définissent les mêmes ouverts.


J'ai cette définition des métriques usuelles sur un espace produit, mais dans mon cours sur les espaces métriques, on ne me dit pas que X*Y est engendré par l'union des ouverts Ai*Bi ...

Donc si on se place uniquement dans le contexte des espaces métriques, quel serai la réponse attendu pour cette question ? Il faudrait se servir de la définition des ouverts par le fait qu'ils contiennent une boule ouverte associée à une des distances ? Si c'est le cas, je ne vois pas du tout comment aboutir à quelque chose de convenable, parce que j'ai essayé ..

nikoch
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par nikoch » 31 Déc 2015, 19:39

J'ai essayé cette réponse :
Si O est un ouvert de X*Y, il existe une boule ouverte de rayon r>0, tel que pour tout (x,y) appartenant à O, on ai B((x,y),r) contenu dans O si on prend la metrique d((x,x'),(y',y'))=dX(x,x')+dY(y,y'), on a B((x,y),r)={(x',y') tel que dX(x,x')+dY(y,y')Est-ce juste ?

 

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