Equations parametriques de 2 plans perpendiculaires

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bobrutetruand
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equations parametriques de 2 plans perpendiculaires

par bobrutetruand » 06 Déc 2015, 15:16

Bonjour a tous et merci d'avance pour votre aide.
Ma fille est en dernière année d'étude et a un soucis avec la résolution d'un exercice.
En effet , elle doit résoudre l'exercice suivant:

Trouver l'équation paramétrique du plan alphat passant par A(4,4,2)
et perpendiculaire au plan pi d'équation x=3r+s
y=1-r-2s
z=-2+2r-s

je vous remercie d'avance pour votre aide et j'espere de tout cœur que quelqu'un pourra me resoudre cet exercice.bien à vous!



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Pierrot73
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par Pierrot73 » 06 Déc 2015, 16:52

bobrutetruand a écrit:Bonjour a tous et merci d'avance pour votre aide.
Ma fille est en dernière année d'étude et a un soucis avec la résolution d'un exercice.
En effet , elle doit résoudre l'exercice suivant:

Trouver l'équation paramétrique du plan alphat passant par A(4,4,2)
et perpendiculaire au plan pi d'équation x=3r+s
y=1-r-2s
z=-2+2r-s

je vous remercie d'avance pour votre aide et j'espere de tout cœur que quelqu'un pourra me resoudre cet exercice.bien à vous!


Bonjour,

Sans forcément résoudre l'exercice, il est possible de donner des indices pour amorcer la résolution.
Le système de l'énoncé permet de dire que le plan pi est défini par les vecteurs v1(3, -1, 2) et v2(1, -2, -1).

Edit : partie fausse de mon message dont il ne faut pas tenir compte suite au post de siger (mais que je laisse comme bel exemple de bourde ...)
Comme le plan alpha doit être perpendiculaire au plan pi, les vecteurs v1 et v2 sont normaux à alpha. Ainsi, on dispose pour le plan alpha d'au moins un vecteur normal et d'un point. Il est donc possible de calculer l'équation paramétrique du plan alpha.

siger
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par siger » 06 Déc 2015, 17:27

Bonjour

mille excuses Pierrot73...
"Comme le plan alpha doit être perpendiculaire au plan pi, les vecteurs v1 et v2 sont normaux à alpha".
sauf erreur cela signifierait au moins que v1 et v2 sont paralleles.....!!!!

L'equation parametrique d'un plan, passant par A et contenant les deux vecteurs u1(x1,y1,z1) et u2(x2,y2,z2), s'obtient en projettant sur les axes l'equation vectorielle
OM= OP + a*u1 + b*u2
avec M un point courant du plan , P un point donné du plan
d'ou
x = xP + a*x1 + b*x2
y = ....
...
Ici on connait v1 et v2 ainsi que P du plan pi
le plan alpha contient donc un vecteur N(x3,y3,z3) perpendiculaire a pi, ainsi que le vecteur AP et passe par A
ce qui est suffisant pour calculer son equation parametrique.
les coordonnées du vecteur N peuvent etre calculées en ecrivant que v1.N = v2.N = 0 (deux equations avec trois inconnues, donc on peut choisir arbitrairement une inconnue pour calculer les 2 autres)

bobrutetruand
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par bobrutetruand » 06 Déc 2015, 17:54

siger a écrit:Bonjour

mille excuses Pierrot73...
"Comme le plan alpha doit être perpendiculaire au plan pi, les vecteurs v1 et v2 sont normaux à alpha".
sauf erreur cela signifierait au moins que v1 et v2 sont paralleles.....!!!!

L'equation parametrique d'un plan, passant par A et contenant les deux vecteurs u1(x1,y1,z1) et u2(x2,y2,z2), s'obtient en projettant sur les axes l'equation vectorielle
OM= OP + a*u1 + b*u2
avec M un point courant du plan , P un point donné du plan
d'ou
x = xP + a*x1 + b*x2
y = ....
...
Ici on connait v1 et v2 ainsi que P du plan pi
le plan alpha contient donc un vecteur N(x3,y3,z3) perpendiculaire a pi, ainsi que le vecteur AP et passe par A
ce qui est suffisant pour calculer son equation parametrique.
les coordonnées du vecteur N peuvent etre calculées en ecrivant que v1.N = v2.N = 0 (deux equations avec trois inconnues, donc on peut choisir arbitrairement une inconnue pour calculer les 2 autres)

encore un grand merci pour votre reponse,je transmet de suite a ma fille.
mille et mille merci!!!!

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Pierrot73
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par Pierrot73 » 06 Déc 2015, 19:44

Oula oui, j'ai écrit des bêtises, et avec conviction en plus, tout en étant persuadé d'avoir écrit v1.N = 0 et v2.N = 0 dans le message.

Pardon à bobrutetruand et merci à toi siger ! J'ai édité mon précédent post pour signaler mon erreur.

siger
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par siger » 06 Déc 2015, 21:38

re

pas de problem, ça arrive a tout le monde, ....même a moi!;)
méme à celui qui a redigé l'exercice...'.

en effet le plan alpha est UN des plans perpendiculaires a pi passant par A. Tous les plans contenant la perpendiculaire a pi passant par A repondent a la question
( ex: une porte, qu'elle soit ouverte, entrebaillée ou fermée, represente un plan alpha passant par un point fixe A ( un gond) et toujours perpendiculaire au sol (plan pi))

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Pierrot73
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par Pierrot73 » 06 Déc 2015, 21:45

Très juste ! On a bien une infinité de plans perpendiculaires a pi passant par A

 

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