Voyons la suite. Ça m'a l'air pas mal du tout, mais je vais un peu chipoter...
Lency a écrit:"Il semble que lim(Un)=2 et que la suite (Un) est croissante." Ce résultat m'a été donné avec la calculatrice à partir du tableau de récurrence de la suite. Ma réponse est-t'elle correcte et complète pour cette question selon vous?
La suite n'est pas croissante : ce serait incompatible avec la question suivante. Mais c'est peut-être une simple faute de frappe ?
Hérédité: On suppose que Pn est vraie 1<= Un+1 <= Un
On montre que 1<= Un+2 <= Un+1
Un+2= f(Un+1) donc f(1) <= f(Un+1) <= f(Un)
- Dans la deuxième ligne, je dirais plutôt « Montrons que 1<= Un+2 <= Un+1 » : on annonce ce qu'on va faire. (C'est du chipotage, mais « on montre que » signifie (en général) qu'il existe une démonstration de ce qui suit. Par exemple « On montre que toute suite croissante majorée converge » signifie qu'il existe quelque part une démonstration de cette propriété. Ce n'est pas la même chose que « Montrons que » qui est un impératif (1ère personne du pluriel), donc annonce que les lignes suivantes seront la démonstration.)
- La troisième ligne doit se justifier (en citant le fait que f est croissante). De toute façon c'est mal dit (et là je ne chipote pas, c'est à cause du « donc » qui n'a pas lieu d'être (ce n'est pas parce que Un+2 = f(Un+1) que l'inégalité qui suit est vraie)).
- De plus tu devrais ajouter une quatrième ligne pour conclure, par exemple : « et donc 1 <= Un+2 <= Un+1 », qui est le résultat annoncé.
En tout cas tu sembles maîtriser le principe du raisonnement par récurrence.
Voici comment je dirais les choses :
1) J'annonce : « Montrons que 1<= Un+2 <= Un+1 »
2) J'utilise l'hypothèse de récurrence : « Par hypothèse, on a : 1 <= Un+1 <= Un. »
3) J'utilise la croissance de f : « f est croissante sur [1 ; +inf.[ donc f(1) <= f(Un+1) <= f(Un).
4) J'utilise le fait que Un+2= f(Un+1) : « c'est-à-dire 1 <= Un+2 <= Un+1. »
Pour l'exercice 2 :
2) Le mobile avance, recule puis ré avance. On a un mouvement rectiligne.
Je pense qu'il faut préciser quelque chose du genre : le mobile avance entre les temps t=0 et t=10 s de 5 à 25 mètres, et ainsi de suite.
Ne dis pas que le mouvement est rectiligne : c'est déjà dit dans l'énoncé (« Un mobile se déplace en ligne droite [...]).
3) ? ( je calculerais la dérivée d'(t) et je referais un tableau de variation a partir de ça.)
Oui, c'est ça qu'il faut faire ! La vitesse, c'est la dérivée, donc il faut trouver la valeur de t pour laquelle la dérivée est maximale.