Ce sont des exercices notés, mais j'ai quelques difficultés..

[Lency410]

Voici deux exercices qui m'ont été donné par mon professeur de mathématiques... J''ai un peu de mal, :hein: donc je voulais avoir votre aide. :id: Des conseils à me donner pour y arriver ?

Exercice1:

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [1;+infini[ par:
f(x)=(4x-2)/(x+1)


1. Montrer que, pour tout x de [1;+infini[, f(x)= 4 - 6/(x+1).

2. Démontrer que f est croissante sur l'intervalle [1;+infini[.

3. On considère la suite (Un) définie par Uo=3 et, pour tout entier naturel n, Un+1= f(Un)
(a) Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite (Un) ?
(b) Démontrer, par récurrence que, pour tou entier naturel n,
1 (inférieur ou égal à) Un+1 (supérieur ou égal à) Un.


Exercice 2:

Un mobile se déplace en ligne droite suivant la loi horraire d, définie sur [O;5] par
d(t)= (1/4 t*t*t)- 9/4 t*t) + 6t ( t en seconde, d(t) en mètre.

1. Etudier, en justifiant, les variation de la fonction d.

2. Décrire le mouvement du mobile sur un axe

3. A quel instant le mobile est-il animé par une vitesse maximum?

[WillyCagnes]

bjr

L'Urgence est d'apprendre à dire Bonjour à tous ceux qui t'aident

dis nous ce que tu as fait pour la 1)
1. Montrer que, pour tout x de [1;+infini[, f(x)= 4 - 6/(x+1).

modifie le numérateur
4x-2 =4x (-2 +6) -6 =4x +4 -6=4(x+1) -6

[Lency410]

Bonjour, tout d'abord je comprend et je m'excuse. Merci de m'avoir répondu.

Pour la 1) j'aurais dans un premier temps calculé la dérivée de la fonction pour ensuite avoir son signe et son tableau de variation et ainsi répondre à la question 2). Mais en faisant ça je ne réponds pas tout à fait à la question 1) .. là est mon problème.

[Lency410]

1) (réponse) Pour tout x de intervalle [1; + infini[
f(x)= 4- (6/x+1)
= (4 (x+1) -6) / x+1
= (4x +4 -6) / x+1
= 4x-2 / x+1

On a donc f(x)= 4- (6/x+1), Pour tout x de l'intervalle [1; + infini[

-> Voila ce que je mettrais en réponse pour la question 1. Vous en pensez quoi ?

[WillyCagnes]

helas non,

on part de f(x)
f(x)=(4x-2)/(x+1)
l'astuce est d'ajouter et retrancher 6 :ptdr:

f(x)=(4x-2 +6-6)/(x+1)
f(x)=(4x+4-6)/(x+1)
f(x)=(4x+4)/(x+1) -6(x+1)
f(x)=4(x+1)/(x+1) -6(x+1)
f(x)= 4 -6/(x+1) tout simplement

[tototo]

Voici deux exercices qui m'ont été donné par mon professeur de mathématiques... J''ai un peu de mal, :hein: donc je voulais avoir votre aide. :id: Des conseils à me donner pour y arriver ?

Exercice1:

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [1;+infini[ par:
f(x)=(4x-2)/(x+1)


1. Montrer que, pour tout x de [1;+infini[, f(x)= 4 - 6/(x+1).
pour tout x de [1;+infini[, f(x)=(4x-2)/(x+1)=(4x+4-6)/(x+1)=(4(x+1)-6)/(x+1)= 4 - 6/(x+1)
2. Démontrer que f est croissante sur l'intervalle [1;+infini[.

3. On considère la suite (Un) définie par Uo=3 et, pour tout entier naturel n, Un+1= f(Un)
(a) Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite (Un) ?
(b) Démontrer, par récurrence que, pour tou entier naturel n,
1 (inférieur ou égal à) Un+1 (supérieur ou égal à) Un.


Exercice 2:

Un mobile se déplace en ligne droite suivant la loi horraire d, définie sur [O;5] par
d(t)= (1/4 t*t*t)- 9/4 t*t) + 6t ( t en seconde, d(t) en mètre.

1. Etudier, en justifiant, les variation de la fonction d.

2. Décrire le mouvement du mobile sur un axe

3. A quel instant le mobile est-il animé par une vitesse maximum?[/quote]

[tototo]

Voici deux exercices qui m'ont été donné par mon professeur de mathématiques... J''ai un peu de mal, :hein: donc je voulais avoir votre aide. :id: Des conseils à me donner pour y arriver ?

Exercice1:

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [1;+infini[ par:
f(x)=(4x-2)/(x+1)


1. Montrer que, pour tout x de [1;+infini[, f(x)= 4 - 6/(x+1).

2. Démontrer que f est croissante sur l'intervalle [1;+infini[.
x->1/(x+1) est décroissante donc x->-1/(x+1) est croissante, l'ajout d'une constante ne modifie pas les variations de la fonction donc x->4 - 6/(x+1) est croissante.
3. On considère la suite (Un) définie par Uo=3 et, pour tout entier naturel n, Un+1= f(Un)
(a) Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite (Un) ?
(b) Démontrer, par récurrence que, pour tou entier naturel n,
1 (inférieur ou égal à) Un+1 (supérieur ou égal à) Un.


Exercice 2:

Un mobile se déplace en ligne droite suivant la loi horraire d, définie sur [O;5] par
d(t)= (1/4 t*t*t)- 9/4 t*t) + 6t ( t en seconde, d(t) en mètre.

1. Etudier, en justifiant, les variation de la fonction d.

2. Décrire le mouvement du mobile sur un axe

3. A quel instant le mobile est-il animé par une vitesse maximum?[/quote]

[tototo]

Voici deux exercices qui m'ont été donné par mon professeur de mathématiques... J''ai un peu de mal, :hein: donc je voulais avoir votre aide. :id: Des conseils à me donner pour y arriver ?

Exercice1:

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [1;+infini[ par:
f(x)=(4x-2)/(x+1)


1. Montrer que, pour tout x de [1;+infini[, f(x)= 4 - 6/(x+1).

2. Démontrer que f est croissante sur l'intervalle [1;+infini[.

3. On considère la suite (Un) définie par Uo=3 et, pour tout entier naturel n, Un+1= f(Un)
(a) Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite (Un) ?
comme Uo=3 sur l'intervalle [1;+infini[ et que x->f(x) croit la suite (Un) croit et comme lim(x->+inf)(- 6/(x+1))=0 la suite (Un) converge vers 4.
(b) Démontrer, par récurrence que, pour tou entier naturel n,
1 (inférieur ou égal à) Un+1 (supérieur ou égal à) Un.


Exercice 2:

Un mobile se déplace en ligne droite suivant la loi horraire d, définie sur [O;5] par
d(t)= (1/4 t*t*t)- 9/4 t*t) + 6t ( t en seconde, d(t) en mètre.

1. Etudier, en justifiant, les variation de la fonction d.

2. Décrire le mouvement du mobile sur un axe

3. A quel instant le mobile est-il animé par une vitesse maximum?[/quote]

[tototo]

Voici deux exercices qui m'ont été donné par mon professeur de mathématiques... J''ai un peu de mal, :hein: donc je voulais avoir votre aide. :id: Des conseils à me donner pour y arriver ?

Exercice1:

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [1;+infini[ par:
f(x)=(4x-2)/(x+1)


1. Montrer que, pour tout x de [1;+infini[, f(x)= 4 - 6/(x+1).

2. Démontrer que f est croissante sur l'intervalle [1;+infini[.

3. On considère la suite (Un) définie par Uo=3 et, pour tout entier naturel n, Un+1= f(Un)
(a) Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite (Un) ?
(b) Démontrer, par récurrence que, pour tou entier naturel n,
1 (inférieur ou égal à) Un+1 (supérieur ou égal à) Un.
comme (Un) croit alors Un+1 (supérieur ou égal à) Un
comme (Un) croit et que Uo=3 alors 1 (inférieur ou égal à) Un+1

Exercice 2:

Un mobile se déplace en ligne droite suivant la loi horraire d, définie sur [O;5] par
d(t)= (1/4 t*t*t)- 9/4 t*t) + 6t ( t en seconde, d(t) en mètre.

1. Etudier, en justifiant, les variation de la fonction d.

2. Décrire le mouvement du mobile sur un axe

3. A quel instant le mobile est-il animé par une vitesse maximum?[/quote]

[tototo]

[quote="Lency410"]Voici deux exercices qui m'ont été donné par mon professeur de mathématiques... J''ai un peu de mal, :hein: donc je voulais avoir votre aide. :id: Des conseils à me donner pour y arriver ?

Exercice1:

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [1;+infini[ par:
f(x)=(4x-2)/(x+1)


1. Montrer que, pour tout x de [1;+infini[, f(x)= 4 - 6/(x+1).

2. Démontrer que f est croissante sur l'intervalle [1;+infini[.

3. On considère la suite (Un) définie par Uo=3 et, pour tout entier naturel n, Un+1= f(Un)
(a) Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite (Un) ?
(b) Démontrer, par récurrence que, pour tou entier naturel n,
1 (inférieur ou égal à) Un+1 (supérieur ou égal à) Un.


Exercice 2:

Un mobile se déplace en ligne droite suivant la loi horraire d, définie sur [O;5] par
d(t)= (1/4 t*t*t)- 9/4 t*t) + 6t ( t en seconde, d(t) en mètre.

1. Etudier, en justifiant, les variation de la fonction d.
d'(t)=(3/4 t*t)- 9/2 t) + 6 >0 sur [O;5] donc d croit sur [O;5]
2. Décrire le mouvement du mobile sur un axe

3. A quel instant le mobile est-il animé par une vitesse maximum?

[tototo]

[quote="Lency410"]Voici deux exercices qui m'ont été donné par mon professeur de mathématiques... J''ai un peu de mal, :hein: donc je voulais avoir votre aide. :id: Des conseils à me donner pour y arriver ?

Exercice1:

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [1;+infini[ par:
f(x)=(4x-2)/(x+1)


1. Montrer que, pour tout x de [1;+infini[, f(x)= 4 - 6/(x+1).

2. Démontrer que f est croissante sur l'intervalle [1;+infini[.

3. On considère la suite (Un) définie par Uo=3 et, pour tout entier naturel n, Un+1= f(Un)
(a) Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite (Un) ?
(b) Démontrer, par récurrence que, pour tou entier naturel n,
1 (inférieur ou égal à) Un+1 (supérieur ou égal à) Un.


Exercice 2:

Un mobile se déplace en ligne droite suivant la loi horraire d, définie sur [O;5] par
d(t)= (1/4 t*t*t)- 9/4 t*t) + 6t ( t en seconde, d(t) en mètre.

1. Etudier, en justifiant, les variation de la fonction d.

2. Décrire le mouvement du mobile sur un axe
d"(t)= 3t/2- 9/2
d"'t)=0 <-> t= 3
donc le mobile va dans le sens de la droite croissante décelere de [O;3[ puis accélère de ]3;5]
3. A quel instant le mobile est-il animé par une vitesse maximum?

[tototo]

[quote="Lency410"]Voici deux exercices qui m'ont été donné par mon professeur de mathématiques... J''ai un peu de mal, :hein: donc je voulais avoir votre aide. :id: Des conseils à me donner pour y arriver ?

Exercice1:

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [1;+infini[ par:
f(x)=(4x-2)/(x+1)


1. Montrer que, pour tout x de [1;+infini[, f(x)= 4 - 6/(x+1).

2. Démontrer que f est croissante sur l'intervalle [1;+infini[.

3. On considère la suite (Un) définie par Uo=3 et, pour tout entier naturel n, Un+1= f(Un)
(a) Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite (Un) ?
(b) Démontrer, par récurrence que, pour tou entier naturel n,
1 (inférieur ou égal à) Un+1 (supérieur ou égal à) Un.


Exercice 2:

Un mobile se déplace en ligne droite suivant la loi horraire d, définie sur [O;5] par
d(t)= (1/4 t*t*t)- 9/4 t*t) + 6t ( t en seconde, d(t) en mètre.

1. Etudier, en justifiant, les variation de la fonction d.

2. Décrire le mouvement du mobile sur un axe

3. A quel instant le mobile est-il animé par une vitesse maximum?
d'(t)=(3/4 t*t)- 9/2 t) + 6 >0 sur [O;5]
d'(0)= 6
d'(5)=(75/4)-90/4) + 24/4 = 9/4 < d'(0) donc la vitesse est maximum en 0

[Robic]

Le calcul de Lency01 à 6h02 est au contraire tout à fait valable. C'est juste qu'il n'aurait pas dû le commencer par f(x). Il faut le commencer par 4 - 6/(x+1) = etc. et à la fin écrire = f(x).

De plus c'est la bonne méthode pour résoudre ce genre de question : partir de la fin et retrouver le début. La méthode de WillyCagnes est astucieuse, mais les astuces sont moins universelles (quoique celle qu'il présente sert souvent !)

[zygomatique]

salut

l'astuce est d'ajouter et retrancher 6 :ptdr:

surtout quand il ne fait pas ce qu'il dit .... :lol3:



par contre l'astuce est d'ajouter 4 et de retrancher 4 ....



:zen:

[Lency410]

Merci pour votre aide. J'ai pris en compte vos remarques pour répondre aux questions. Maintenant pour la réponse de la question 3.a) je mettrais: "Il semble que lim(Un)=2 et que la suite (Un) est croissante." Ce résultat m'a été donné avec la calculatrice à partir du tableau de récurrence de la suite.
Ma réponse est-t'elle correcte et complète pour cette question selon vous?

[Lency410]

Ensuite pour la question 3.b) je propose comme réponse:

"Pour tout n appartenant à N Pn:"1= 1 Donc Pn est vraie

Hérédité: On suppose que Pn est vraie 1<= Un+1 <= Un
On montre que 1<= Un+2 <= Un+1
Un+2= f(Un+1) donc f(1) <= f(Un+1) <= f(Un)

Donc f est strictement croissante sur [1;Un[

Conclusion: Pn est initialisée et héréditaire donc Pn est vraie pour tout n appartenant à N "

Je suis pas vraiment sur que ma démarche soit correcte... Pouvez-vous me corriger en cas d'erreur pour cette question ?

[Lency410]

Pour ce qui en est de l'exercice 2, j'ai la réponse à la question 1. Par contre pour la question 2 et 3 c'est pas trop ça.. je proposerais :

2) Le mobile avance, recule puis ré avance. On a un mouvement rectiligne.
3) ? ( je calculerais la dérivée d'(t) et je referais un tableau de variation a partir de ça.)

Vous en pensez quoi ?

[Robic]

Voyons la suite. Ça m'a l'air pas mal du tout, mais je vais un peu chipoter...

"Il semble que lim(Un)=2 et que la suite (Un) est croissante." Ce résultat m'a été donné avec la calculatrice à partir du tableau de récurrence de la suite. Ma réponse est-t'elle correcte et complète pour cette question selon vous?

La suite n'est pas croissante : ce serait incompatible avec la question suivante. Mais c'est peut-être une simple faute de frappe ?

Hérédité: On suppose que Pn est vraie 1<= Un+1 <= Un
On montre que 1<= Un+2 <= Un+1
Un+2= f(Un+1) donc f(1) <= f(Un+1) <= f(Un)

- Dans la deuxième ligne, je dirais plutôt « Montrons que 1<= Un+2 <= Un+1 » : on annonce ce qu'on va faire. (C'est du chipotage, mais « on montre que » signifie (en général) qu'il existe une démonstration de ce qui suit. Par exemple « On montre que toute suite croissante majorée converge » signifie qu'il existe quelque part une démonstration de cette propriété. Ce n'est pas la même chose que « Montrons que » qui est un impératif (1ère personne du pluriel), donc annonce que les lignes suivantes seront la démonstration.)
- La troisième ligne doit se justifier (en citant le fait que f est croissante). De toute façon c'est mal dit (et là je ne chipote pas, c'est à cause du « donc » qui n'a pas lieu d'être (ce n'est pas parce que Un+2 = f(Un+1) que l'inégalité qui suit est vraie)).
- De plus tu devrais ajouter une quatrième ligne pour conclure, par exemple : « et donc 1 <= Un+2 <= Un+1 », qui est le résultat annoncé.

En tout cas tu sembles maîtriser le principe du raisonnement par récurrence.

Voici comment je dirais les choses :
1) J'annonce : « Montrons que 1<= Un+2 <= Un+1 »
2) J'utilise l'hypothèse de récurrence : « Par hypothèse, on a : 1 <= Un+1 <= Un. »
3) J'utilise la croissance de f : « f est croissante sur [1 ; +inf.[ donc f(1) <= f(Un+1) <= f(Un).
4) J'utilise le fait que Un+2= f(Un+1) : « c'est-à-dire 1 <= Un+2 <= Un+1. »

Pour l'exercice 2 :

2) Le mobile avance, recule puis ré avance. On a un mouvement rectiligne.

Je pense qu'il faut préciser quelque chose du genre : le mobile avance entre les temps t=0 et t=10 s de 5 à 25 mètres, et ainsi de suite.

Ne dis pas que le mouvement est rectiligne : c'est déjà dit dans l'énoncé (« Un mobile se déplace en ligne droite [...]).

3) ? ( je calculerais la dérivée d'(t) et je referais un tableau de variation a partir de ça.)

Oui, c'est ça qu'il faut faire ! La vitesse, c'est la dérivée, donc il faut trouver la valeur de t pour laquelle la dérivée est maximale.

[Lency410]

Merci pour ton aide, :id: je vois avec les infos que tu viens de me donner. Je te tiens au courant en cas de problème. :we:
Ps: c'était bien une faute de frappe.