Mathématiques - polynômes

polynômes
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: MacManus

Bonsoir

J'aimerais avoir de l'aide sur cet exercice car je n'arrive pas à démarrer :

On considère deux polynômes de degré 2 de R[X], P = $a_0+a_1X+a_2X^2$ et
Q = $b_0+b_1X+b_2X^2$ , non multiples l'un de l'autre.

1. Mq P et Q ne sont pas premiers entre eux si et seulement si ils ont une racine (complexe) commune.
Ce fait reste-t-il vrai si l'un des polynômes est de degré 3 ?

2. Mq si P et Q ne sont pas premiers entre eux, alors il existe A et B de degré inférieur à 1 tels que AP = BQ.
En déduire que les quatre polynômes P, XP, Q, XQ sont linéairement dépendants.

3. Mq si P et Q sont premiers entre eux, alors les quatre polynômes P, XP, Q, XQ sont linéairement indépendants.

Merci d'avance

Posted by: Rain'

1) si et seulement si ça veut dire qu'il faut faire les deux sens ? Fais voir ce que tu obtiens en supposant une partie de la phrase. Attention en général il y a une sens plus facile que l'autre (encore que..)

Posted by: MacManus

Non vraiment je ne vois pas. Je sais juste la proposition suivante qui dit que 2 polynômes P et Q de K[X], scindés sur K, sont premiers entre eux si et seulement si ils n'ont aucune racine commune...mais je ne parviens pas à le montrer ni dans un sens ni dans l'autre

Je sais cependant que deux polynômes P et Q sont premiers entre si
PGCD(P,Q) = 1 ou bien encore s'il existe deux polynômes U et V tels que PU+BQ = 1 ou encore si P et Q sont divisibles par un polynôme constant (degré nul)...mais je n'arrive pas à faire le lien entre tout ça, je veux dire par là que même avec ces définitions je ne sais pas par où commencer...si vous pouviez me guider ce serait gentil. Merci beaucoup.

Posted by: SergeM

Tes polynomes dans ton énoncé te sont donnés sous leur forme developpée P= $a_0+a_1X+a_2X^2$ .
Mais tu peut aussi les voir sous leur forme factorisée P= $a_2(X-P_1) (X-P_2)$ et Q= $b_2(X-Q_1) (X-Q_2)$ où $P_1 et P_2 Q_1 et Q_2$ sont leur racines respectives.

N.B. Pour que P et Q soit premiers entre eux il ne faut pas que leur pgcd soit 1 mais n'importe quel inversible de R[X] (c'est à dire n'importe quel réel non nul).
Il faut comprendre que dans un anneau, un inversible divise tout (car si a est inversible x=a.a^(-1).x) donc est forcement diviseur commun de deux éléments.
Ce serrait 1 (ou -1) dans Z[X].

Posted by: MacManus

oui je suis d'accord on peut écrire P et Q sous forme factorisée (j'aurais mis plutôt les coefficients dominants $a_2$ et $b_2$ respectifs de P et Q devant la factorisation, mais je comprends ce que tu as voulu dire).

Il faut que je trouve un polynôme de R[X] qui divise à la fois P et Q, qui soit en fait un entier, c'est bien ça ce que tu appelles inversible de R[X] ? Mais cet entier est en réalité un polynôme de dergré nul c'est ça ?...comment trouver les inversibes de R[X]? je ne saisis pas tout...en tout cas merci pour ton aide

Posted by: SergeM

Effectivement c'est a2 b2 qui fallait lire (faut de frappe de me part.

Non il faut que tu prouve que les seuls diviseurs commun de P et Q sont les polynomes de dégrès nul (polynome de degrès nul = réel effectivement).

Or il n'y a pas de polynome de degrès 2 qui divise à la fois P et Q sinon P serrait diviseur de Q (et réciproquement).

Donc finalement il faut juste que tu montre qu'il n'y a aucune polynome de degré 1 qui divise à la fois P et Q.

Posted by: MacManus

Citation:

Posté par SergeM

Or il n'y a pas de polynome de degrès 2 qui divise à la fois P et Q sinon P serrait diviseur de Q (et réciproquement).

D'accord merci je comprends mieux finalement. C'est bien pour ça qu'on précise au début que P et Q sont non multiples l'un de l'autre.

Citation:

Posté par SergeM

Donc finalement il faut juste que tu montre qu'il n'y a aucune polynome de degré 1 qui divise à la fois P et Q.

En supposant que P et Q ont des racines distinctes (P1 P2 Q1 et Q2 en utilisant tes notations), on voit que dans les factorisations de P et Q en polynômes de degré 1, aucun de ces polynômes ne sont multiples l'un de l'autre également. Donc il n'y a aucun polynôme de degré 1 qui divise à la fois P et Q. Donc P et Q sont premiers entre eux.

D'autres part si l'on observe dans la factorisation une racine commune pour P et Q, alors P et Q ne sont pas premiers entre eux!

[...]

Posted by: leon1789

Citation:

Posté par MacManus

On considère deux polynômes de degré 2 de R[X], P = $a_0+a_1X+a_2X^2$ et
Q = $b_0+b_1X+b_2X^2$ , non multiples l'un de l'autre.

1. Mq P et Q ne sont pas premiers entre eux si et seulement si ils ont une racine (complexe) commune.
(...)

Cet énoncé est très étrange : l'hypothèse <<non multiples l'un de l'autre>> est inutile : deux polynômes de degré 2 multiples l'un de l'autre sont égaux à un facteur réel non nul près, donc ne sont pas premiers entres eux, et ont toutes leurs deux racines en commun... etc.

Posted by: leon1789

Citation:

Posté par SergeM

N.B. Pour que P et Q soit premiers entre eux il ne faut pas que leur pgcd soit 1 mais n'importe quel inversible de R[X] (c'est à dire n'importe quel entier).

--> c'est à dire n'importe quel réel non nul.

Posted by: leon1789

Citation:

Posté par SergeM

polynome de degrès nul = entier effectivement

Il faut arréter de confondre Z et R ...

Posted by: SergeM

Oui c'est encore une faut de frappe de ma part évidement.

Je prend bien soin d'expliquer que le pgcd de P et Q n'est pas seulement 1 (ou -1) puisque on est dans R[x] et pas dans Z[x] et derrière je fait des fautes de frappes.

Posted by: SergeM

Citation:

Posté par MacManus

1)C'est ça: pour être plus explicite tu peut dire que si P et Q ont une racine commune r alors (X-r) divise P et Q donc P et Q ne sont pas premiers.

Reciproquement si P et Q ne sont pas premiers entre eu alors:
-Soit il y a un polynome de degrès 2 qui les divise les deux donc tu peut dire ici qu'on est en contradiction avec l'enoncé ou alors ce qu'a dis léon (je pense que la précison inutile de l'énoncé sert à alléger la réponse).
-Soit il y a un polynome de degrès 1: k.(X-r) qui divise P et Q et dans ce cas r est forcement racine de P et de Q.

Même démo si l'un des polynome est de dégrès 3.

2)P et Q on ici une racine commune r et leur autre racine respectivement P_1 et Q_1 est differente si on considère qu'il sont non multiple l'un de l'autre (la encore cette hypothèse n'est pas indispensable effectivement).
Tu écrit donc
$P=a_2 (X-r) (X-P_1)$
$Q=b_2 (X-r) (X-Q_1)$
A partir de la tu devrait pouvoir resoudre la première partie de la question.

Pour la deuxième partie, $A=k_1 X + k_0$ (avec k_1 non nul) donc
$AP=k_1 XP + k_0P$ ect... (au final tu doit trouver une décomposition de 0 sous forme $k_0P + k_1 XP + k_2Q + k_3 XQ[tex] avec les [tex]k_i$ non tous nuls).

3)Par contraposé, si XP, P, Q, et XQ sont linéairement dépendants alors il éxiste $k_0 k_1 k_2 k_3$ non tous nuls tel que $k_0P + k_1XP+ k_2Q + k_3 XQ=0$ donc il existe A et B polynomes de degrès 0 ou 1 tels que AP=BQ donc A et B ne sont pas premiers entre eux (a monter en faisant la réciproque de la question 2).

Posted by: MacManus

Merci SergeM et léon1789 pour votre aide c'est sympa. Je vais prendre le temps de regarder avec attention ce que vous avez dit! ...ce dernier message SergeM me semble intéressant...à plus tard.merci encore

Posted by: MacManus

Citation:

Posté par SergeM

2)P et Q on ici une racine commune r et leur autre racine respectivement P_1 et Q_1 est differente si on considère qu'il sont non multiple l'un de l'autre (la encore cette hypothèse n'est pas indispensable effectivement).
Tu écrit donc
$P=a_2 (X-r) (X-P_1)$
$Q=b_2 (X-r) (X-Q_1)$
A partir de la tu devrait pouvoir resoudre la première partie de la question.

Pour avoir AP = BQ on peut choisir A = $b_2(X-Q_1)$ et B = $a_2(X-P_1)$ qui sont bien des polynômes de degré 1 au plus.

Pour le reste je crois comprendre ce que tu me dis!
merci beaucoup

Posted by: leon1789

Citation:

Posté par MacManus

Merci SergeM et léon1789

Ben, c'est surtout SergeM qui passe du temps à répondre

Posted by: MacManus

c'est vrai ça -1 pour toi, tu passes à 1788

Posted by: leon1789

............