Polynômes

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Posted by: lugubre

Bonjour a tous je suis élève de première année de prépa PCSI et je viens de découvrir votre forum et cela tombe plutôt bien je suis tombé sur un exercice assez coriace en fait je nage totalement ( ou coule )
(si quelqu'un pouvait me guidé ou même me traîner de force vers la réponse qui ne me parait pas si évidente après mes longues heures de méditation sur cet exo)
Voici l'énoncé :

Démontrer qu'il n'existe pas de polynôme P(X) de degré supérieur ou égal à 1 et à coefficients dans N ( on notera N[X] l'ensemble des polynômes à coefficients dans N) tel que : quelque soit n appartenant a N*, P(n) est un nombre premier.

En vous remerciant d'avance


Posted by: Rain'

Regarde P(0) et P(a0)


Posted by: lugubre

Le seul problème est que l'énoncé dit quelque soit n appartenant a N* ce qui pose problème pour P(0) P(a0) lui vérifie ceci et n'est pas premier.


Posted by: Rain'

Citation:
Posté par lugubre
Le seul problème est que l'énoncé dit quelque soit n appartenant a N* ce qui pose problème pour P(0) P(a0) lui vérifie ceci et n'est pas premier.


J'ai pas compris ce que tu veux dire.


Posted by: lugubre

Vous me guidez sur P(0) mais on travail sur N* ( N privé de 0 ) ou alors je me trompe quelque part


Posted by: Rain'

Effectivement je le connais pour N et non N* et ça nécessite P(0)


Posted by: lugubre

Lorsque le profs nous a donné la feuille d'exo il nous a fait remarquer l'exercice quelqu'un a commencé a parlé de P(0) et P(a0) mais je n'ai pas eu le temps de bien comprendre alors le prof nous a dit d'essayer avec N* si possible.
Si on prend sur N
P(0) nous donne a0 ?
Mais si l'on fait P(a0) je ne vois pas vraiment ce que cela va apporter jy réfléchi... on peut résonner avec a0 premier ou non alors ?


Posted by: ThSQ

Une idée (qui doit être la même que celle de Rain' sans doute) :

Si a_0 n'est pas premier alors P(a0) , divisible par a0, n'est pas premier.
Si a0 est premier il divise, donc est égal au signe près, à tous les P(k*a0). Ca donnerait une infinité de racines à un polyniome, embêtant.

Une autre façon st de voir que P(n) | P (n+k*P(n)), pour tout n et tout k


Posted by: Rain'

Tu es sur la bonne voie pour montrer que ça ne marche pas sur N.

Pour montrer que ça ne marche pas sur N*, tu prends P(x) qui marche sur N*, tu poses Q(x) = P(x+1), si la propriété est vérifié pour P sur N*, alors elle est vérifiée pour Q sur N.

Je te laisse vérifier que P et Q sont de même degré et que Q appartient à N[X].

Tu peux donc conclure par, si c'est vrai pour N*, c'est vrai pour N, or c'est facile de montrer que c'est faux pour N donc c'est faux pour N*.

Et par récurrence immédiate dans les deux sens, on voit que la propriété est fausse en partant de n'importe quel entier relatif et pas forcément 0 ou 1.


Posted by: lugubre

Merci beaucoup pour ces infos et la rapidité des réponses c'est vraiment super sympa je n'aurais jamais pensé à prendre un polynôme comme P(X+1) merci Rain' et merci ThSQ. Un deniere question qui porte plus su le forum dois-je mettre [résolu] dans le titre ou quelque chose du genre ?

(PS: Vous aussi vous avez des Database error lors du chargement des pages du forum ?)


Posted by: Rain'

Citation:
Posté par ThSQ
Une idée (qui doit être la même que celle de Rain' sans doute) :

Si a_0 n'est pas premier alors P(a0) , divisible par a0, n'est pas premier.
Si a0 est premier il divise, donc est égal au signe près, à tous les P(k*a0). Ca donnerait une infinité de racines à un polyniome, embêtant.

Une autre façon st de voir que P(n) | P (n+k*P(n)), pour tout n et tout k


Attention si a0 n'est pas premier, comme P(a0) est divisible par a0 alors a0 = 1 Et là ca coince sur N* tandis que sur N, on dit P(0) = a0 = 1 n'est pas premier.

Et pour l'autre plus simplement Si a0 est premier alors P(a0) = a0*k avec k différent de 1, puisque c'est une somme non nulle de termes positifs en effet on sait que le polynôme est de degré au moins un donc au moins un des ak (k>0) est non nul. Donc P(a0) n'est pas premier, contradiction.


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par Rain'
Attention


Ah ouais t'as raison, j'avais même pas fait gaffe aux subtilités N, N* de l'énoncé.

De toute façon je préfère P(n) | P (n+k*P(n)) qui permet de s'abstraire des circonvolutions liées à N, N*, Z, Z*, ...


Posted by: lugubre

A oui ok je n'avais pas vu que cela coinçais sur N* je vais mi atteler ce soir et ThSQ je ne comprend pas bien ta notation P(n) | P (n+k*P(n)) peus tu m'éclairer ?


Posted by: lugubre

Donc en résumé je fait ceci:
Pour montrer que ça ne marche pas sur N*, tu prends P(x) qui marche sur N*, tu poses Q(x) = P(x+1), si la propriété est vérifié pour P sur N*, alors elle est vérifiée pour Q sur N.

Je te laisse vérifier que P et Q sont de même degré et que Q appartient à N[X].

Tu peux donc conclure par, si c'est vrai pour N*, c'est vrai pour N, or c'est facile de montrer que c'est faux pour N donc c'est faux pour N*.

Et par récurrence immédiate dans les deux sens, on voit que la propriété est fausse en partant de n'importe quel entier relatif et pas forcément 0 ou 1.

Je montre que c'est faux par la contradiction sur N avec a0
Si a0 est premier alors P(a0) = a0*k avec k différent de 1, puisque c'est une somme non nulle de termes positifs en effet on sait que le polynôme est de degré au moins un donc au moins un des ak (k>0) est non nul. Donc P(a0) n'est pas premier, contradiction.

Ou même en faisant comme le disait ThsQ mais sur N ce qui ensuite par le premier point nous le démontre aussi sur N*


Bien sur en rajoutant quelque précision et tout est bon ? Si mon raisonnement est logique


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par lugubre
P(n) | P (n+k*P(n)) peus tu m'éclairer ?


'|' c'est "divise". Xcuze je croyais que c'était une notation standard.


Posted by: lugubre

Ok merci je ne voyais pas dutout ce que cela signifiait je suis nouveau sur le forum et j'ais plus tendance a mettre / pour une division merci


Posted by: ThSQ

Ok, bienvenu !

(j'aime bien ton avatar !)


Posted by: lugubre

Merci tient si tu veut un peu moins belle mais plus marrante

http://img513.imageshack.us/img513/...97237169am8.jpg


Posted by: abcd22

Bonjour,
Citation:
Posté par lugubre
Ok merci je ne voyais pas dutout ce que cela signifiait je suis nouveau sur le forum et j'ais plus tendance a mettre / pour une division

Attention je crois que tu confonds « divisé par » (noté /) et « divise » (noté | ).


Posted by: lugubre

Oula oui merci j'étais parti sur "divisé par"










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