Polynomes

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Posted by: mehdi-128

Bonsoir,voici un exercice qui me laisse muet:

Soit P appartenant a C[x,y].On suppose P symétrique.On suppose également que
(x-y) divise P(x,y).

Montrer que (x-y)^2 divise P(x,y).
merci....


Posted by: aviateurpilot

j'ai pas encore vu les polynomes à deux variables (je pense que je vais les voir l'anné prochaine)
mais je pense que p(x,y)=\bigsum_{k=0}^{n}a_ix^{b_i}y^{c_i}
quand on dit que p(x,y) est symetrique?


Posted by: mehdi-128

P(x,y) symétrique <=> P(x,y)=P(y,x)


Posted by: mehdi-128

Il existe Q appartenant a C[x,y] tel que: P(x,y)=(x-y)Q(x,y)

Or,P(x,y)=P(y,x) => (x-y)Q(x,y)=(y-x)Q(y,x)

d'ou pour tout y différent de x : Q(x,y)=-Q(y,x) ..........


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par mehdi-128
Il existe Q appartenant a C[x,y] tel que: P(x,y)=(x-y)Q(x,y)

Or,P(x,y)=P(y,x) => (x-y)Q(x,y)=(y-x)Q(y,x)

d'ou pour tout y différent de x : Q(x,y)=-Q(y,x) ..........

oui, c clair.
tu peux me dire les resultats que vous avez vu dans le cours sur ces polynomes.
par exemple, leur forme
moi je pense que qu'elle s'ecris sous la forme p(x,y)=\bigsum_{k=0}^{n}a_k(xy)^{a_k}(x^{b_k}+y^{b _k}) avec (a_k),(b_k) deux suites réels


Posted by: mehdi-128

On a rien vu sur les polynomes en mp.....Tout a été vu en sup...


Posted by: yos

P(x,y)=(x-y)Q(x,y)
P(y,x)=(y-x)Q(y,x)
mais P(x,y)=P(y,x)
donc Q(y,x)=-Q(x,y)
En particulier Q(x,x)=-Q(x,x)
donc Q(x,x)=0
donc Q(x,y) se factorise par (x-y).


Posted by: aviateurpilot

3$ P(x,y)=(x-y)Q(x,y)
avec 3$ Q(x,y)=-Q(y,x)
il est evident qu'on peux toujours ecrire un polynome a deux variable sous la forme 3$ Q(x,y)=A(x)+B(y)+\bigsum_{i=0}^{n}a_ix^{b_i}y^{c_i } tel que \forall i\in [|0,n|],\ b_i,c_i\ge 1 et A(x), A(y) deux polynomes.
on a 3$ Q(x,y)=-Q(y,x)
donc 3$ Q(x,x)=0
on pose le polynome a une variable avec y fixé, 3$ H_y(x)=Q(x,y)
on a H(y)=Q(y,y)=0 donc il exist un polynome C_y(x) tel que H_y(x)=(x-y)C_y(x)
d'ou P(x,y)=(x-y)Q(x,y)=(x-y)^2C_y(x)


Posted by: mehdi-128

Ah ok merci... :)










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