Je dois determiner les polynomes de C[X] verifiant :
pour tt complexe z, P(z) est reel.
Je sens que ce sont les polynomes constant mais la preuve m'echappe.
Merci
Posted by: El_Gato
Une solution, pas très élégante:
Posons .
Par la formule donnant le n-ième coefficient en fonction de la dérivée n-ième en 0, on voit d'abord que tous les sont réels.
Ensuite, tu fais une récurrence sur le degré: sur tous les polynômes de degré inférieur ou égal à n qui ont cette propriété (avec l'intention de montrer qu'ils sont constants réels).
On en déduit facilement que P est une constante réelle.
Posted by: redwolf
Une autre solution :
Si est de degré plus grand que 1, quel que soit complexe, le polynôme a une racine , et . Donc non seulement prend des valeurs non réelles, mais il prend toutes les valeurs non réelles !
.
sont réels.
est de degré plus grand que 1, quel que soit 
complexe, le polynôme 
a une racine 
, et 
. Donc non seulement