Bonjour
Avec une suite de polynômes X-a_i, pourquoi faut-il que tous les a_i soient
non nuls pour que ces polynômes soient premiers entre eux? (c'est ce que
j'ai lu dans un corrigé d'exercices)
Merci
Posted by: Xavier Caruso
"CB" , dans le message (fr.education.entraide.maths:50039), a écrit :
> Avec une suite de polynômes X-a_i, pourquoi faut-il que tous les a_i soient
> non nuls pour que ces polynômes soient premiers entre eux? (c'est ce que
> j'ai lu dans un corrigé d'exercices)
Il faut qu'ils soient deux à deux distincts, non, plutôt ?
Posted by: CB
Xavier Caruso wrote:
> "CB" , dans le message (fr.education.entraide.maths:50039), a écrit :
>> Avec une suite de polynômes X-a_i, pourquoi faut-il que tous les a_i
>> soient non nuls pour que ces polynômes soient premiers entre eux?
>> (c'est ce que j'ai lu dans un corrigé d'exercices)
>
> Il faut qu'ils soient deux à deux distincts, non, plutôt ?
Certes, mais ça suffit? S'il sont deux à deux distincts, mais qu'un des
polynômes est X, ça marche encore?
Posted by: Frederic
On Wed, 29 Oct 2003 12:40:02 +0100, CB <cyberchand@ifranc.com> wrote:
>Xavier Caruso wrote:
>> "CB" , dans le message (fr.education.entraide.maths:50039), a écrit :
>>> Avec une suite de polynômes X-a_i, pourquoi faut-il que tous les a_i
>>> soient non nuls pour que ces polynômes soient premiers entre eux?
>>> (c'est ce que j'ai lu dans un corrigé d'exercices)
>>
>> Il faut qu'ils soient deux à deux distincts, non, plutôt ?
>
>Certes, mais ça suffit? S'il sont deux à deux distincts, mais qu'un des
>polynômes est X, ça marche encore?
Bin oui pourquoi ? 0 serait-il un nombre particulier ? (Oui, bon, c'est
peut-etre le cas...) (mais pas dans ce contexte).
--
Frederic
Posted by: CB
Frederic wrote:
>> Certes, mais ça suffit? S'il sont deux à deux distincts, mais qu'un
>> des polynômes est X, ça marche encore?
>
> Bin oui pourquoi ? 0 serait-il un nombre particulier ? (Oui, bon,
> c'est peut-etre le cas...) (mais pas dans ce contexte).
C'est ce que je me disais, mais dans la correction d'un exercice dans le
livre de Christophe Jan chez ellipses (Le grand livre des mathématiques),
dans le chapitre Réduction, il y a écrit qu'on peut utiliser le lemme des
noyaux pour le produit des X-mu_j parce que les mu_j sont distincts deux à
deux et non nuls... Si vous voulez plus de détails sur cette correction
demandez moi. Mais ça me paraît étrange. D'autant plus que l'hypothèse des
mu_j non nuls est cruciale, puisque sans elle la propriété démontrée dans
l'exercice devient fausse!
Posted by: Frederic
On Wed, 29 Oct 2003 12:51:27 +0100, CB <cyberchand@ifranc.com> wrote:
>> Bin oui pourquoi ? 0 serait-il un nombre particulier ? (Oui, bon,
>> c'est peut-etre le cas...) (mais pas dans ce contexte).
>C'est ce que je me disais, mais dans la correction d'un exercice dans le
>livre de Christophe Jan chez ellipses (Le grand livre des mathématiques),
>dans le chapitre Réduction, il y a écrit qu'on peut utiliser le lemme des
>noyaux pour le produit des X-mu_j parce que les mu_j sont distincts deux à
>deux et non nuls... Si vous voulez plus de détails sur cette correction
>demandez moi.
Oui, je veux bien. Pour autant que je sache, le lemme des noyaux n'impose
pas de condition de non-nullite (en tout cas, la version que je connais).
En fait, je veux bien l'enonce de l'exercice, si c'est possible ?
--
Frederic, curieux et qui espere ne pas dire de betises.
Posted by: CB
Frederic wrote:
>
> Oui, je veux bien. Pour autant que je sache, le lemme des noyaux
> n'impose pas de condition de non-nullite (en tout cas, la version que
> je connais). En fait, je veux bien l'enonce de l'exercice, si c'est
> possible ?
A appartient à GL_n (C). p entier non nul tel que A^p soit diagonalisable.
Montrer que A est diagonalisable.
Correction : on pose w = e^(i*2*pi/p), lambda_1, .., lambda_s les valeurs
propres distinctes de A^p. Comme A est inversible, les lambda_i sont non
nuls. Par le lemme des noyaux on a C^n = somme directe des ker(A^p -
lambda_j I). La ça va. Ensuite on considère les mu_j tels que mu_j^p =
lambda_j. Alors X^p - lambda_j = produit k=0 à p-1 des X - w^k mu_j. Ici
tout va bien. Ensuite les polynômes X - w^k mu_j sont 2 à 2 premiers entre
eux car mu_j non nul. C'est là que je comprends pas. Ensuite le lemme des
noyaux donne C^n = somme directe sur i de somme directe sur k des ker (A -
w^k mu_j I) donc A est diagonalisable.
En fait j'ai tout compris mais je vois pas pourquoi un mu_j ne doit pas être
nul sachant qu'ils sont tous distincts. Ensuite il y a un contre exemple où
A n'est pas inversible cette fois.
Une idée??
Posted by: Frederic
On Wed, 29 Oct 2003 14:17:09 +0100, CB <cyberchand@ifranc.com> wrote:
>A appartient à GL_n (C). p entier non nul tel que A^p soit diagonalisable.
>Montrer que A est diagonalisable.
>Correction : on pose w = e^(i*2*pi/p), lambda_1, .., lambda_s les valeurs
>propres distinctes de A^p. Comme A est inversible, les lambda_i sont non
>nuls. Par le lemme des noyaux on a C^n = somme directe des ker(A^p -
>lambda_j I). La ça va. Ensuite on considère les mu_j tels que mu_j^p =
>lambda_j. Alors X^p - lambda_j = produit k=0 à p-1 des X - w^k mu_j. Ici
>tout va bien. Ensuite les polynômes X - w^k mu_j sont 2 à 2 premiers entre
>eux car mu_j non nul. C'est là que je comprends pas. Ensuite le lemme des
>noyaux donne C^n = somme directe sur i de somme directe sur k des ker (A -
>w^k mu_j I) donc A est diagonalisable.
Ben oui, si mu_j0 est nul alors tous les w^k mu_j0 sont egaux... Non ?
--
Frederic, dis-je une betise ?
Posted by: Nicolas FRANCOIS (AKA El Bofo)
Le Wed, 29 Oct 2003 14:17:09 +0100 "CB" <cyberchand@ifranc.com> a écrit :
> Frederic wrote:
> >
> > Oui, je veux bien. Pour autant que je sache, le lemme des noyaux
> > n'impose pas de condition de non-nullite (en tout cas, la version que
> > je connais). En fait, je veux bien l'enonce de l'exercice, si c'est
> > possible ?
>
> A appartient à GL_n (C). p entier non nul tel que A^p soit
> diagonalisable. Montrer que A est diagonalisable.
> Correction : on pose w = e^(i*2*pi/p), lambda_1, .., lambda_s les
> valeurs propres distinctes de A^p. Comme A est inversible, les lambda_i
> sont non nuls. Par le lemme des noyaux on a C^n = somme directe des
> ker(A^p - lambda_j I). La ça va. Ensuite on considère les mu_j tels que
> mu_j^p = lambda_j. Alors X^p - lambda_j = produit k=0 à p-1 des X- w^k
> mu_j. Ici tout va bien. Ensuite les polynômes X - w^k mu_j sont 2 à 2
> premiers entre eux car mu_j non nul. C'est là que je comprends pas.
> Ensuite le lemme des noyaux donne C^n = somme directe sur i de somme
> directe sur k des ker (A - w^k mu_j I) donc A est diagonalisable.
> En fait j'ai tout compris mais je vois pas pourquoi un mu_j ne doit pas
> être nul sachant qu'ils sont tous distincts. Ensuite il y a un contre
> exemple où A n'est pas inversible cette fois.
> Une idée??
Ca vient du fait que si lambda est non nul, il a p racines p-iemes, et A
annule un polynome a racines simples, mais _de ce point de vue_, 0 est
particulier puisqu'il n'a qu'une seule racine p-ieme. Ca empeche
d'appliquer le lemme des noyaux a A.
> Ca vient du fait que si lambda est non nul, il a p racines p-iemes,
> et A annule un polynome a racines simples, mais _de ce point de vue_,
> 0 est particulier puisqu'il n'a qu'une seule racine p-ieme. Ca empeche
> d'appliquer le lemme des noyaux a A.