Mathématiques - Polynomes de lagrange

Polynomes de lagrange
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Posted by: duchere

Bonjour,
je suis en train de me tuer la tête sur les polynomes de lagrange !!

Je lis de partout que $X^k = \sum_{i=1}^{n} x_i^k L_i$

Et moi je ne trouve pas ca, je trouve à peu près le contraire?
Quelqu'un aurait il la démo s'il vous plait ?
Merci.

Posted by: yos

Cette égalité me semble évidente, dés lors que n=k+1

Posted by: duchere

dès lors que n=k+1?
Tu peux expliquer s'il te plait.... ?

Merci

Posted by: duchere

Bon, sinon peut-être décellerez-vous l'erreur dans ma démo fausse...

Je rappelle $L_i =\prod_{j=0, j!=i}^n x_i \frac{X-x_j}{x_i-x_j}$

Soit $P=\sum_{k=0}^{n} a_k X^k = \sum_{k=0}^{n} b_k L_k$

$a_k$ sont donc les coordonnées de P dans la base canonique
Et $b_k$ celles de P dans la base de Lagrange

Je passe alors aux polynomes sur R, et vu qu'ils sont égaux sur R, ils sont en particulier égaux aux points $x_k , k \in [0,n]$

D'où pour tout i de [0,n] $\sum_{k=0}^n a_k t_i^k = b_i$

Donc je trouve ce changement de base qui s'avère faux.
Où est l'erreur svp ?

Merci

Posted by: duchere

Ca y'est, je viens de trouver comment on démontre la formule d'en haut.
C'est la même démo que mon message précédent sauf qu'on prend P=X^k=Somme sur i des b_i L_i

IL semblerait donc que ma démo d'au dessus soit aussi juste.

Cependant, lorsque j'essaie sur un exemple dé vérifier le changement de base, cela ne marche pas !!

Merci de m'aider.

Posted by: duchere

Oui en effet, ma formule est juste.

En fait lors de ma vérification, j'avais pris n=1, et j'avais pris L_0 = 1 au lieu de (X-t1)/(t0-t1) !!!

Que de temps perdu pour une petite erreur.

merci

Posted by: yos

Le polynôme $\sum_{i=1}^{k+1} x_i^k L_i$ prend la valeur $x_i^k$ en $x_i$ et son degré est $\leq k$ , donc ce polynôme est $X^k$ (unicité du polynôme de degré $\leq k$ prenant k+1 valeurs données). D'où ma précision n=k+1.
Ta démonstration, que je n'ai que survolée, ne dit rien d'incompatible avec ça.

Posted by: duchere

Oui eh bien en fait c'est preque exactement la même démo que la mienne.

Car lorsque tu dis que le polynome prend la valeur $x_i^k$ en $x_i$ , tu sous-entends pour tout i de [0,n], ce qui te donne en effet l'unicité du polynome , or X^k marche, donc c'est lui.

Moi je dis presque pareil :

Soit $P=\sum_{i=0}^n b_i L_i$ le polynome que l'on cherche ( $b_i$ , $i \in [0,n]$ ses coordonnées dans la base de lagrange)

On veut $P=X_k$

Donc en particulier pour tout i de [0,n] $b_i = x_i^k$

Moi je préfère faire comme ca parce que c'est pas vraiment à mon programme l'unicité du polynome de degré n, n+1 valeurs fixées

Et surtout que je crois que cela découle des polys de lagrange ce théorème, ce serait donc dommage de se mordre la queue ;-)

Merci beaucoup en tout cas !

@ bientot

Bonne nuit