Mathématiques - polynômes juste un oeil

polynômes juste un oeil
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Posted by: normo

Bonjour on me donne ce polynôme:
Pn= (x²-1)^n
On me demande le degré, ses racines et leur ordre de multiplicité.

le degré: 2n+1 mais je ne sais pas le démontré c'est juste logique
racines: 1 et -1 car (x²-1)=(x-1)(x+1) bonne rédaction?
et l'odre de multiplicité c'est n pour les deux.

J'ai bon?

Posted by: Joker62

No :)
(x²-1)^n d'après le binôme de Newton

le degrés vaut 2n

Posted by: normo

ma logique me fait défaut alors, mais pourtant je suis pas convaincu...

Posted by: Joker62

(x² - 1)^n = $\large \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-1)^{n-k}(x^2)^k$

Le degrés max c'est pour k = n ie deg = 2n

Posted by: maturin

ben pour connaitre le plus haut degré tu ne t'interesse qu'aux termes de plus haut degré don entre le x² et le 1 tu ne t'interesse qu'au x² et x²^n=x^(2n)

sinon le produit de 2 polynome est un polynome dont le degré est la somme des degré de chaque polynome. Là tu as n produits de polynome de degré 2 donc ça te fera 2+2+2+2....+2 n fois c'est à dire 2n

après tu peux aussi écrire $(x^2-1)^n=(x-1)^n(x+1)^n$
tu vois donc que ça te donne 2n facteurs de degré 1 donc tu retrouves tes 2n
et en plus ça te donne l'ordre des racines 1 et -1

Posted by: normo

Merci beaucoup

Posted by: normo

on me donne aussi Ln=Pn^(n) ac Pn=(x²-1)^n

et on me demande Ln(1) et Ln(-1) ça fait 1 et 0?

Posted by: maturin

non 1²-1=0 et 0^n=0
de mêm (-1)²-1=0 et 0^n est toujours égal à 0

la seule forme indeterminée c'est quand n=0

Posted by: normo

on me demande ensuite de développer Pn avec la formule du binôme et de trouver ln(x)=n! sigma(a<=k<=n/2) (-1)^k(k parmis n)(n parmis 2n-2k) X^(n-2k)

(désolé pour la présentation)

Posted by: maturin

bon j'ai l'impression d'avoir raté un truc Ln=Pn^(n) ça veut dire dérivée nième de Pn ?

moi j'ai considéré que c'était une puissance nième de Pn dans le calul de Ln(1) et de Ln(-1)

hors la formule que tu donne correspond plus à la dérivée.

Donc si on reprend $P_n(x)=(x^2-1)^n=(x-1)^n(x+1)^n$

Pour calculer Ln(1) et Ln(-1) il faut considérer la formule $(x-1)^n(x+1)^n$ .
Tu trouve assez rapidement par récurence la dérivée nième d'un produit:
$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n u^{(n-k)}{v^{(k)}$
donc si tu prends $u=(x-1)^n$ et $v=(x+1)^n$

Sachant que la dérivée nieme de $(x-a)^p$ est $p(p-1)(p-2)...(p-n+1)(x-a)^{p-n}=n! C_n^p (x-a)^{p-n}$ si $p\geq n$ et elle est nulle si p<n. (tu retrouves ceci très facilement par récurrence)

ça montre que $u^{(n-k)}(1)=0$ sauf pour k=n où cela vaut n!
et $v^{(n-k)}(-1)=0$ sauf pour k=0 où cela vaut n!
donc en 1 et -1 tous les termes de la somme sont nuls sauf un
donc Ln(1)=Ln(-1)=n!

Après pour retrouver ta formule :

le binome de newton donne:
$(a+b)^p=\sum_{k=0}^p C_p^k a^{p-k} b^k$

Donc si tu appliques à Pn(x) ça te donne:
$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^k (x^2)^{n-k} (-1)^{k}$

Après tu cherches la dérivée nieme de Pn(x)
Si tu réutilise la formule ci dessus avec a=0 ça te donne la dérivée nieme de $x^{2(n-k)}$ :

$(x^{2(n-k)})^{(n)}=n! C_n^{2(n-k)}x^{n-2k}$ si $2(n-k)\geq n$
et c'est nul si $2(n-k)<n$ c'est à dire pour k>n/2. C'est à dire que seuls les cas $k\leq E(n/2)$ nous interessent (E()=partie entière)

On a donc $P_n^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^{E(\frac{n}{2})} C_{n}^k n! C_n^{2(n-k)}x^{n-2k} (-1)^{k}$

Posted by: fahr451

à la pointe de son épée d 'un L qui voulait dire Legendre

famille de polynômes orthogonaux ayant toutes leurs racines (simples) dans ]-1,1[