Mathématiques - Polynomes cyclotomiques

Polynomes cyclotomiques
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Posted by: Rain'

Si quelqu'un s'y connait en polynomes cyclotomiques, je cherche à montrer que Phi(n) est à coefficients entiers. J'imagine par récurrence mais pour le moment je vois pas trop comment.

Pour ceux qui ne connaissent pas on définit le n-ième polynome cyclotomique Phi(n) par Phi(n) = (Produit des Zeta appartenant à Zn) ( X - Zeta) ou Zeta est une racine primitive n-ième de l'unité (une racine primitive n-ième de l'unité est primitive si elle n'est pas racine q-ième de l'unité pour un q strictement plus petit.) et Zn l'ensemble des racines primitives n-ièmes de l'unité.

Voilà ça serait sympa si quelqu'un peut m'aider.

Posted by: yos

Bonsoir.

Cette preuve est très classique. C'est bien par récurrence et cela utilise la relation $X^n-1=\prod_{d|n}{\Phi _d}$ qui est un simple classement des racines nièmes de 1 en fonction de leur ordre.

On suppose que les polynômes $\Phi_1, \Phi_2, ..., \Phi _{n-1}$ sont à coefficients entiers.
On pose $P=\prod_{d|n,d\neq n}{\Phi _d}$ . P est dans Z[X] par hypothèse de récurrence et P est un polynôme unitaire par construction des polynômes cyclotomiques, donc on peut effectuer la division euclidienne de $X^n-1$ par P dans Z[X]. Et elle coïncide avec la division euclidienne de $X^n-1$ par P dans
C[X] qui est l'égalité $X^n-1=P \Phi _n$ (Le quotient est $\Phi_n$ et le reste est nul). Donc $\Phi_n \in Z[X]$ .

Posted by: Rain'

Merci beaucoup, j'ai quelques petites questions encore si c'est possible :

1) Soit p premier. Déterminer $\Phi_p$ rond (X+1). Montrer que ce polynome est irréductible sur Q et en déduire que Phi(p) est irréductible sur Q

Je pense que $\Phi_p rond (X-1)$ = (Somme de m de 0 à p)(Somme de k de 0 à m) [ (m parmi k) X^k ] et j'en suis même pas sur :(

2) Soit p premier et Zeta = exp 2i*Pi/p. Montrer que pour tout P de Q[X], P(Zeta)=0 ssi $\Phi_p$ divise P.

Y a un sens trivial et l'autre où il me manque encore qques arguements.

3) Soient P,Q de Q[X] unitaires tels que PQ appartient à Z[X]. Montrer que P,Q app à Z[X].

4) On considère /Phi(n) (lire Phi(n) barre) de Fp[X]. Montrer qu'il n'existe pas de polynome non constant B de Fp[X] tel que B² divise /((X^n) -1) (considérer X*Phi'(n)-n*Phi(n)).

5)Soient U, V de Q[X] et z complexe tel que U(z)=V(z)=0. Montrer que si U est irréductible sur Q, U divise V.

6) Soit B unitaire tel que Phi(n)=AB. Montrer par l'absurde que B(Zeta^p)<>0

Et je vous promet qu'après ça c'est terminé.

Posted by: yos

1) $\phi_p(X)=\frac{X^n-1}{X-1}=X^{p-1}+X^{p-2}+...+X+1$ car toutes les racines pième sont primitives sauf 1.
$\phi_n(X+1)=X^{p-1}+pX^{p-2}+\left(C_{p-1}^{2}+(p-2)+1\right)X^{p-3}+...$
Et on vérifie que tous les coef sont multiples de p sauf le premier . De plus le coef constant est p donc pas multiple de p², donc on applique le critère d'Eisenstein.
$\phi_p(X+1)$ est irréductible donc $\phi_p(X)$ aussi (facile à voir).

Posted by: yos

2)Le "si" est facile.
Le "seulement si" provient du fait que l'application
$\sigma_k : \zeta \map \zeta ^k$ ( où k vaut 1,2,...p-1)est un Q-morphisme de $Q(\zeta)$ (c'est-à-dire laissant Q invariant (point par point, pas globalement)). On a donc $\sigma_k(P(z))=P(\sigma_k (z)$ (prolongement naturel du morphisme aux polynômes), donc les $\zeta ^k$ sont racines de P si $\zeta$ l'est.

Suis-je clair? C'est la même chose que l'exercice de terminale S où on demande de prouver que si z est racine de P, alors zbarre l'est aussi, l'hypothèse clé étant que P est à coef réels (fixés par la cojugaison).

3) C'est dans tous les bouquins souvent sous forme contraposée : Si un polynôme de Z[X] est irréductible sur Z[X], il l'est aussi sur Q[X].Ca utilise un lemme de Gauss sur le contenu d'un polynôme et c'est pas immédiat.

Je reviendrai plus tard si personne ne s'est dévoué pour la suite.

Posted by: yos

Peux-tu vérifier le 4) ; il me semble louche car par exemple dans Fp[X], on a
X^p-1=(X-1)^p

Posted by: Rain'

Merci beaucoup Yos pour tes réponses, quant à l'énoncé de la 4, il est bien donné tel quel.

Posted by: yos

Dans la 4) : n est quelconque? p est premier?

Posted by: Rain'

n quelconque , p premier et p ne divise pas n

Posted by: yos

5) Les polynômes qui s'annulent en z forment un idéal A de Q[X].
U appartient à A donc l'idéal principal <U> est inclus dans A mais U est irréductible, donc l'idéal qu'il engendre est maximal, donc A=<U> ou bien
A=Q[X] . La deuxième proposition est absurde, donc A=<U>. Mais V appartient à A, donc à <U> donc V=UR.

6) Encore bizarre : n? p? que vient faire zeta^p qui vaut 1????

Posted by: Rain'

N'ayant jamais entendu parler encore d'ideal c'est normal que je comprenne pas la 5) ?

Sinon l'énoncé est là si tu veux vérifier. http://80.11.80.31/~dupont/DS/DS05(Gauss).pdf

Il s'agit de la dernière partie. En tout cas merci beaucoup pour toutes tes réponses.

Posted by: yos

Vu le sujet, je ne pouvais pas deviner que tu étais en MPSI. Ton professeur ne manque pas d'humour en tout cas.

On peut faire la question 5 "à la main" (sans parler d'idéal) :

On note A l'ensemble des polynômes de Q[X] qui s'annulent en z et on choisit M (non nul) dans A de degré minimum. On effectue la div euc de U par M :
U=MQ+R avec deg R<deg M. On voit facilement que R(z)=0, donc R est dans A, donc il est nul (sinon son degré contredirait la minimalité de M). On a donc U=MQ mais Q est irréductible, donc M ou Q est constant et ce ne peut être M (car il s'annule en z et est non nul en tant que polynôme), donc c'est Q.
Le même raisonnement avec V montre que M divise V et comme U et M sont égaux à une constante multiplicative près, on a U qui divise V.

Posted by: Rain'

Merci beaucoup, effectivement il a toujours eu beaucoup d'humour (malheureusement)