Mathématiques - polynomes et arithmétique

polynomes et arithmétique
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Posted by: nonam

Bonjour,
je cherche à faire cet exercice :
Soient m et n dans N*, d=pgcd(m,n), P $\in$ K[X].
J'avais à montrer précédemment :
$P^d$ -1 est un pqcd de $P^m$ -1 et $P^n$ -1.
ça c'est bon.
ensuite : ( $P^m$ -1)( $P^n$ -1) divise ( $P^d$ -1)( $P^{mn}$ -1), c'est bon aussi.
Maintenant, il me faut montrer que si on fait l'hypothèse que ( $P^m$ -1)( $P^n$ -1) divise (P-1)( $P^{mn}$ -1), et que car(K)= 0, alors m et n sont premiers entre eux.
Là je ne vois pas par où partir, et un coup de pouce serait vraiment bienvenu.

Posted by: abcd22

Bonsoir,
Essaie de montrer que $P^d - 1$ divise $P - 1$ .

Posted by: nonam

merci beaucoup, c'était le coup de pouce qui fallait !
Ce que j'ai fait :
je sais que ( $P^d$ -1)² divise (P-1)( $P^{mn}$ -1), et que ( $P^{mn}$ -1) = ( $P^d$ -1)( $\displaystyle \sum_{k=0}^{M-1} P^{dk}$ ) où M est le ppcm de m et n. Ensuite j'ai montré que $\displaystyle \sum_{k=0}^{M-1} P^{dk}$ et $P^d$ -1 sont premier entre eux (grâce à Bezout), ce qui montre que finalement $P^d$ -1 divise P-1 (Gauss).