Polynômes

par **kkk** » 13 Jan 2007, 20:37

Bonjour, j'ai un exercice sur ces polynômes mais il y aquelques questions qui me posent problème.

On définit par récurrence une suite de polynômes par :
P1=1
P2=X
Et pour tout n entier naturel, Pn+2 = XPn+1 - Pn

1-Déterminer le coefficient dominant de Pn et son degré
J'ai fait ça par une récurrence d'ordre 2, j'ai deg(Pn)=n-1 et coeff dominant = 1

2-Montrer que pour a réel et por tout entier naturel
sin (na) = sin(a)Pn(cos2a)
Fait aussi

3-Soit n appartenant à N* fixé.
On cherche les éventuelles racines réelles de Pn
a-Résoudre l'équation sin(na)=0
Ca c'est fait, j'ai pour k entier relatif, ak= pi/n + kpi/n

b-Monbtrer que Pn admet des racines réelles
J'ai pensé pour cela à utiliser la question 2...mais je ne trouve rien, je ne sais pas trop comment faire...
Pourriez-vous m'aider ?

4-Montrer que pour tout entier relatif positif, (Pn+1)^2-(Pn+2)(Pn)=1
Et pour cette démonstration aussi, comment dois-je m'y prendre, je n'arrive pas à trouver par quoi coommencer.
Merci de votre aide,
kkk

Merci de votre aide,

par **abcd22** » 13 Jan 2007, 21:27

kkk a écrit:b-Monbtrer que Pn admet des racines réelles
J'ai pensé pour cela à utiliser la question 2...mais je ne trouve rien, je ne sais pas trop comment faire...
Pourriez-vous m'aider ?

Tu es sur la bonne voie : la question 2 permet de dire que si sin(na) = 0 et sin a est non nul alors

, et il faut aussi utiliser la question 3a).

4-Montrer que pour tout entier relatif positif, (Pn+1)^2-(Pn+2)(Pn)=1
Et pour cette démonstration aussi, comment dois-je m'y prendre, je n'arrive pas à trouver par quoi coommencer.

Commence par montrer que pour tout réel a,

, puis remplace les sin en utilisant la question 2...

par **kkk** » 13 Jan 2007, 21:51

bonjour et merci !
pour la b) j'ai Pn(cos(pi/n + kpi/n))=0 mais je ne m'en sors pas !
je m'attelle, à la prochaine question pour voir ce que je peux tenter avec les indications :id:

par **abcd22** » 13 Jan 2007, 22:17

kkk a écrit:bonjour et merci !
pour la b) j'ai Pn(cos(pi/n + kpi/n))=0 mais je ne m'en sors pas !
je m'attelle, à la prochaine question pour voir ce que je peux tenter avec les indications :id:

C'est

(tu as oublié le 2) si

, or si 1+k n'est pas multiple de n la condition

est vérifiée, donc

est une racine de

. Si n est différent de 1 il y a des k tels que 1+k n'est pas multiple de n, donc

a « des » racines réelles. D'ailleurs la question est mal posée car P1 n'a pas de racine et P2 en a une seule, je pense qu'il faut comprendre « montrer que pour tout n supérieur ou égal à 2, Pn a au moins une racine réelle ».

par **kkk** » 13 Jan 2007, 22:35

merci, vraiment.
j'ai compris le raisonnement global mais il y a détails impirtants qui m'échappent..
Pourquoi Si 1+k n'est pas multiple de n, donc Pn a « des » racines réelles ?

par **abcd22** » 14 Jan 2007, 00:07

kkk a écrit:merci, vraiment.
j'ai compris le raisonnement global mais il y a détails impirtants qui m'échappent..
Pourquoi Si 1+k n'est pas multiple de n, donc Pn a « des » racines réelles ?

Si 1+k n'est pas multiple de n,

est une racine de Pn. J'ai mis Pn a « des » racines réelles avec des guillemets à des parce que la question est écrite avec « des », mais pour n = 2 P2 n'a qu'une racine.
En fait on trouve que Pn a n-1 racines réelles qui sont les

pour k entre 0 et n-2, mais avec la façon dont la question est posée je ne sais pas si ça suffit de constater qu'il y a une racine réelle ou s'il faut dire que toutes les racines sont réelles et les expliciter.

par **kkk** » 14 Jan 2007, 00:12

ok !! :we:
comment sait-on que Pn admet n-1 racines distinctes ?
désolé pour toutes ces questions mais j'ai vraiment envie de comprendre :id:

par **kkk** » 14 Jan 2007, 00:15

pour la question 4), je n'arrive pas à aller plus loin que :
1-cos(2na+2a) / 2 -sin((n+2)a)sin(na) pour montrer que la relation de départ est égale à sin^2(a)
poiurrais-tu m'aider un pti peu ?

par **kkk** » 14 Jan 2007, 00:37

pour la question 4 c'est Ok, mais pour les n-1 racines distinctes je ne vois pas trop ..

par **fahr451** » 14 Jan 2007, 00:42

tu as sin (na) /sin(a) = Pn(cos(2a)) qd sina non nul

tu as résolu l équation sin na = 0 donc tu as trouvé les a qui convenaient

et donc les cos(2a) sont racines de Pn ( ne pas prendre a tel que sin a = 0) .
suffit de voir que tu as n-1 valeurs distinctes des cos(2a)
Pn étant de degré n-1 tu auras toutes les racines de Pn.

par **kkk** » 14 Jan 2007, 00:51

merci de venir à mon aide !
le problème est que je ne vois concrètement comment on voit les n-1 racines distinctes des cos(2a).. :marteau:

par **fahr451** » 14 Jan 2007, 00:58

en fait il semble bien qu'on n'en trouve pas n-1 distinctes ainsi
mais seulement "la moitié" . est il demandé explicitement de montrer que Pn a n-1 racines réelles distinctes?

par **abcd22** » 14 Jan 2007, 01:03

fahr451 a écrit:tu as sin (na) /sin(a) = Pn(cos(2a)) qd sina non nul

tu as résolu l équation sin na = 0 donc tu as trouvé les a qui convenaient

et donc les cos(2a) sont racines de Pn ( ne pas prendre a tel que sin a = 0) .
suffit de voir que tu as n-1 valeurs distinctes des cos(2a)
Pn étant de degré n-1 tu auras toutes les racines de Pn.

Pff j'avais commencé à répondre à kkk mais ça marche pas...
En fait je pense que kkk a fait une erreur de copie en écrivant le message : c'est sin(na) = sin a Pn(2 cos a), et pas cos(2a). Comme cos est une bijection de

sur [-1;1] on voit que les

pour k entre 0 et n-2 donnent n - 1 racines distinctes.

par **kkk** » 14 Jan 2007, 01:08

oui, c'est cela, je syis vraiment désolée pour la coquille !!
du point de vue de la démonstration pour les n-1 racines distinctes je pars du fait que 0

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