Polynôme tenace...

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Posted by: Nairolf

Bonjour à tous,

Je suis un peu (même beaucoup) bloqué dans un exercice sur un polynôme.
On a l'équation suivante : P = z^3-(1-9i)z²+(-28+7i)z+a+28i
On doit trouver les valeurs de a pour lesquelles P admet une racine imaginaire pure ib avec a et b appartenant à R.

En développant P(ib) et en séparant les parties réelle et imaginaire, on tombe sur les deux équations suivantes :

b² - 7b + a = 0 (1)
-b^3 + 9b² - 28b + 28 = 0 (2)

En résolvant la (1) je trouve Delta = 49 - 4a, donc a<=49/4 (puisque b est réel) et :

b = (7-sqrt(49-4a))/2 et b' = (7+sqrt(49-4a))/2

Et à partir de là je ne sais pas du tout comment faire, sachant qu'en injectant les solutions dans l'équation (2) on retombe sur un polynôme de degré trois...

Une idée pour m'aider ?

Merci d'avance !


Posted by: Holomorph

Bonjour, j'ai l'impression qu'il y a une erreur d'encodage dans ton polynôme ou dans ta séparation partie réelle/imaginaire. Pour moi, si
$$P(z)=z^3-(1-9i)z^2+(-28+7i)z+a+28i$$
alors on doit résoudre le système
$$<br /> \left\{\begin{array}{rcl}<br /> b^2-7b+a&amp;=&amp;0\\<br /> -b^3-9b^2-28b+28&amp;=&amp;0<br /> \end{array}\right.<br /> $$
Le problème est que le système ne donne pas de jolies réponses. Alors, je pense plutôt qu'il s'agit d'une erreur d'énoncé. Si on considère que ta décomposition est correcte, le polynôme de départ doit être
$$P(z)=z^3-(1+9i)z^2+(-28+7i)z+a+28i$$.
La décomposition est alors
$$<br /> \left\{\begin{array}{rcl}<br /> b^2-7b+a&amp;=&amp;0\\<br /> -b^3+9b^2-28b+28&amp;=&amp;0<br /> \end{array}\right.<br /> $$
On s'occupe d'abord de la deuxième équation. On utilise la méthode d'Horner et on constate que $b=2$ est une solution. Donc, on a
$$-b^3+9b^2-28b+28=0\Leftrightarrow (b-2)(-b^2+7b-14)=0$$.
On voit que le deuxième facteur n'a pas de solution réelle car son réalisant est négatif. Ainsi, on remplace $b$ par $2$ dans la première équation du système. Je trouve ainsi $a=10$.

Voilà, j'espère que je n'ai pas fait trop de fautes de calcul... Y a-t-il vraiment une erreur d'énoncé comme je le suppose ? Bon travail...


Posted by: Nairolf

Merci, en effet je m'étais trompé en recopiant désolé http://www.maths-forum.com/images/l...ae4befbb852.gif est la bonne formule.

Le soucis est que la méthode d'Horner est inconnue au bataillon, pourrais-tu me l'expliquer brièvement ?

Merci


Posted by: Holomorph

En gros, la méthode d'Horner permet de factoriser un polynôme. Elle est souvent utilisée pour des polynômes de degré au moins 3.

On regarde tous les diviseurs du coefficient indépendant. On évalue le polynôme en ces diviseurs. Dès qu'on trouve un diviseur $a$ annule le polynôme, on arrête. Ensuite, il faut effectuer la division euclidienne de ton polynôme par $(x-a)$.


Posted by: Nairolf

D'accord, ce que tu appelles le coefficient indépendant, par exemple c'est 28 pour {-b^3 + 9b^2 - 28b + 28} c'est ça ?

Merci beaucoup ;)










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