Mathématiques - Polynôme ^^

Polynôme ^^
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Posted by: _-Gaara-_

Salut,

bon voilà ayant épuisé mon stock d'exercices, j'en cherche d'autres et je suis tombé sur celui là (çà doit rappeler quelque chose à certains :D )

Le polynôme x^3 + ax^2 + bx + c a trois racines sur l’intervalle ouvert ]0, 2[. Montrer
l’inégalité

−2 < a + b + c < 0

S'il vous plaît aidez moi à le résoudre =)

Un point de départ suffira :D

Posted by: Nightmare

Salut

Soit i, j k ses trois racines.

P=(x-i)(x-j)(x-k)

soit $3$\rm P=(x^{2}-(i+j)x+ij)(x-k)=x^{3}-(i+j+k)x^{2}+(ij+ik+kj)x-ijk$

On en déduit :
$3$\rm a+b+c=ij+ik+kj-ijk-i-j-k$
Reste à montrer que ce truc là est dans ]-2;0[

Posted by: _-Gaara-_

Salut Nightmare ^^

Oulalalala ce machin appartients donc à ]-2;0[

Je suis trop bête je n'arrive pas à voir comment le faire =(

xD

en tout cas merci :D

Posted by: _-Gaara-_

AAAAAAAh j'ai une illumination deux secondes je crois avoir trouvé :D

Posted by: _-Gaara-_

Hummm

0 >= - i - j - k >= -6

et

0 >= - ijk >= -8

donc

0 >= - i - j - k - ijk >= -14

et de plus

0 =< ik + kj + ij =< 12

donc

0 >= - i - j - k - ijk ik + kj + ij >= -2

MOuahahahahahhahahaha on les a eu !!!

donc FINISH HIM !

0 >= a+b+c >= -2

lol merci beaucoup Nightmare je suis content maintenant ^^

Posted by: Nightmare

Je t'en prie

Posted by: Taupin

Curieux ta façon d'additionner des inégalités (c'est faux)

tu ne trouve que ce que j'avais trouvé tout à l'heure mais qui n'est pas la même chose que toi en suivant le même raisonnement (redescends sur Terre, Einstein s'est pas retourné dans sa tombe) : -14<a+b+c<12

Posted by: _-Gaara-_

Citation:

Posté par Taupin

Curieux ta façon d'additionner des inégalités (c'est faux)

tu ne trouve que ce que j'avais trouvé tout à l'heure mais qui n'est pas la même chose que toi en suivant le même raisonnement (redescends sur Terre, Einstein s'est pas retourné dans sa tombe) : -14<a+b+c<12

Hummm curieuse façon de faire remarquer leurs erreurs aux gens...

J'espère qu'en prépa les gens ne sont pas tous comme çà

PS: Nightmare, si on a 0x<y<1 est-ce que l'on peut dire que x^x < x^y ? merci :)

Posted by: Taupin

Je t'évite de te planter... merci bien !

Si je suis aigri et peut être agressif, les gens que l'on aide ne sont pas vraiment mieux...

Posted by: _-Gaara-_

Ne le prends pas mal lol j'ai réagis sur le coup

et de plus çà m'agace de faire des erreurs à la con

et ne te sens pas obligé de m'aider si tu trouves que je ne suis pas assez bien mdr

Posted by: Zweig

Salut,

On note $x$ , $y$ , $z$ les racines du polynôme. D'après les relations de Viète :

$a + b + c = xy + xz + yz -(x + y + z) - xyz = (1 - x)(1 - y)(1 - z) - 1$

D'après l'inégalité arithmético-géométrique :

$(1 - x)(1 - y)(1 - z) \leq \frac{[3 - (x + y + z)]^3}{27} < {\frac{3^3}{27} = 1$

Ainsi, $(1 - x)(1 - y)(1 - z) - 1 < 0$

D'un autre côté 0 < x, y, z < 2, d'où - $1 < 1 - x, 1 - y, 1 - z < 1$

Cas 1 : -1 < 1-x, 1-y, 1-z < 0 :

On a alors clairement : $(1 - x)(1 - y)(1 - z) > -1$ , d'où $(1 - x)(1 - y)(1 - z) - 1 > -2$

Cas 2 : 0 < 1-x, 1-y, 1-z < 1 :

On a clairement : $0 < (1 - x)(1 - y)(1 - z) < 1$ , d'où $(1 - x)(1 - y)(1 - z) -1 > -1 > -2$ .

Conclusion : Nous avons montré que -2 < a + b + c < 0

Posted by: _-Gaara-_

Zweig, le maître de la Factorisation

Posted by: Zweig

Euh, loin de là ... Juste qu'avec un peu d'entraînement, la "factorisation" ab + ac + bc - (a + b + c) - abc tu la repères assez vite !