Mathématiques - Polynome

Polynome
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Posted by: ice456

Bonjour,

je suis bloqué pour démarer l'exercice.
Voici le contexte : on a un polynome $p_h$ (x) de degré 2.
Son graphe passe par les points (0,h) et (1,0) et sa dérivée en x = 0 est nulle.

On note $x_h$ le point fixe de $p_h$ : [0,1] $\rightarrow$ [0,1].

Il nous est demandé de donner une formule pour $x_h$ en fonction de h dans l'interval [0,1]

Je ne vois pas trop comment faire...

Comme $x_h$ est un point fixe on a $p_h$ ( $x_h$ ) = $x_h$ mais ensuite?

Merci de votre aide

Posted by: chan79

bonjour
Ph est bien un polynôme de degré 2
alors Ph(x)=a(h)x²+b(h)x+c(h)
essaie de commencer par trouver a(h), b(h) et c(h) en fonction de h avec les données du début

Posted by: ice456

J'ai trouvé que a = -h ; b = 0 et c = h.

Donc on peut réécrire $p_h$ (x) = -h x² + h

Ensuite pour donner une formle pour $x_h$ en focntion de h il faut utilisé la définition de point fixe c'est ça?

On aurait donc par définition du point fixe que $p_h (x_h)$ = $x_h$ et donc -h x² + h = x et en isolant x on a la formule c'est ça?

Merci d'avance

Posted by: ice456

Mon raisonnement est-il correct?

Posted by: Help

Oui, c'est ça

Posted by: ice456

Bonjour à tous,

j'aimerai avoir des précisions concernant la question :

Pour résumé j'ai donc trouvé que $p_h$ (x) = -h x² + h
J'utilise donc le point fixe pour trouver l'expression à savoir x = -h x² + h

Je résoud alors -hx² - x + h = 0 et je trouve $\frac{1 \pm \sqrt{1 + 4h^2}}{-2h}$

Et donc mon expression $\frac{1 \pm \sqrt{1 + 4h^2}}{-2h}$ c'est mon $x_h$ ?

J'ai un peu de mal avec la notion de point fixe je dois avouer lol

J'aurais une autre question par la suite mais je préfère être sur que la base soit bonne avant de continué

Merci pour votre aide

Posted by: Cygnusx1

Il ne reste plus qu'a vérifier lequel des 2 racines de ton polynome est bien dans l'intervalle demandée et tu auras fini :)

Posted by: ice456

Ok merci bcp

J'ai donc testé avec les différentes valeurs de h $\in$ [0,1] et j'ai trouver que c'était l'expression $\frac{1 - \sqrt{1 + 4h^2}}{-2h}$ qui reste dans l'inteveral [0,1].

La question suivante maintenant lol

On nous demande de tester de manière graphique la converge de la méthode du point fixe sur le polynome $p_h$ (x) pour divers valeurs de h.

J'ai un peu de mal à comprendre ceci

quand on parle de méthode du point fixe on fait référence à l'expression $x_h$ ?

Et si c'est le cas je dois donc appliqué $p_h$ ( $x_h$ ) = -h $x_h$ ² + h ?

Merci pour l'aide:)

Posted by: Joker62

La méthode du point fixe consiste à créer une suite récurrente, comme expliqué dans le post précédent.

On pose x_(n+1) = f(x_n).

Donc c'est quoi le principe !
On choisit un point de [0;1], on le projette vecticalement sur la courbe de f, on le projette horizontalement sur la courbe y = x, et on obtient ainsi un point de coordonnées (x_n+1, f(x_n)), on recommence le procésus, on s'aperçoit que ça converge vers le point fixe :) ( si f contractante )

Posted by: ice456

Ok merci pour l'explication

Donc dans ce cas si il faut faire $p_h$ ( $x_n$ ) = $x_{n+1}$ où alors je suis completement à coté? lol

J'essaye avec h = 1 mon polynome devient donc $p_1$ (x) = -1x² + 1

Pour le $x_0$ =0, a donc $p_1$ ( $x_0$ ) = 1 = $x_1$

Ensuite on continue donc $p_1$ ( $x_1$ ) = 0 et là on va tourner en rond à chaque passage

Posted by: ice456

J'ai fait le graphe de la manière suivante et j'obtient quasi une ligne droite c'est normal?

J'ai testé avec h = 0,5 ; 0,1 et 0,2

Je m'attendais plus a quelque chose qui varie puis se stabilise vers le point fixe au fure et à masure que la suite avance

quelqu'un pourrait-il m'aider?

Merci d'avance