Le polynome interpolateur de lagrange permet t-il de connaitre un polynome
en tout point de l'espace sur lequel il est défini ou permet t-il seulement
de connaitre un polynome en un nombre fini de points?
Posted by: Nicolas Le Roux
Le Sat, 22 Nov 2003 19:41:04 +0100,
Letitia <lili@caramail.com> grava à la saucisse et au marteau:
> Le polynome interpolateur de lagrange permet t-il de connaitre un polynome
> en tout point de l'espace sur lequel il est défini ou permet t-il seulement
> de connaitre un polynome en un nombre fini de points?
Le polynôme interpolateur de Lagrange est le seul polynôme de degré n
qui passe par n+1 points du plan (d'abscisses différentes). On en
connaît une formule explicite et on peut donc calculer sa valeur sur R.
D'ailleurs, il existe des variantes en dimension p > 1 ou pas?
--
Nicolas
Posted by: Letitia
> Le polynôme interpolateur de Lagrange est le seul polynôme de degré n
> qui passe par n+1 points du plan (d'abscisses différentes). On en
> connaît une formule explicite et on peut donc calculer sa valeur sur R.
Pourquoi est-il le seul?
Posted by: FDH
"Letitia" <lili@caramail.com> a écrit dans le message de news:
3fbff2de$0$27030$626a54ce@news.free.fr...
> > Le polynôme interpolateur de Lagrange est le seul polynôme de degré n
> > qui passe par n+1 points du plan (d'abscisses différentes). On en
> > connaît une formule explicite et on peut donc calculer sa valeur sur R.
>
> Pourquoi est-il le seul?
>
>
Parce que s'il y en a deux qui conviennent, P et Q, alors le polynôme P-Q
s'anulle en au moins n+1 points et est de degré inférieur ou égal à n, donc
P-Q est nul
NB : la réponse de Nicolas Le Roux est incorrecte, il aurait fallu dire :
"le seul polynôme de degré INFERIEUR OU EGAL à n qui passe par n+1
points..."
Posted by: Nicolas Le Roux
Le Sun, 23 Nov 2003 00:41:35 +0100,
FDH <fdgp@free.fr> grava à la saucisse et au marteau:
> NB : la réponse de Nicolas Le Roux est incorrecte, il aurait fallu dire :
> "le seul polynôme de degré INFERIEUR OU EGAL à n qui passe par n+1
> points..."
Toutafé, je suis un gros vilain.
--
Nicolas
Posted by: Xavier Caruso
Nicolas Le Roux , dans le message (fr.education.entraide.maths:51263), a
écrit :
> D'ailleurs, il existe des variantes en dimension p > 1 ou pas?
Euh, oui, sans doute.
Enfin, le même théorème reste vrai... enfin si on se donne un nombre
fini de valeurs alors on peut trouver un polynôme qui interpole...
Maintenant, je ne sais pas si c'est la généralisation naturelle ; ça
me paraîtrait en fait peut-être mieux d'essayer d'imposer une condition
sur des sous-variétés algébriques de codimension 1, mais alors, si je
ne me plante pas, ça impose de considérer des fractions rationnelles.
Posted by: FDH
> D'ailleurs, il existe des variantes en dimension p > 1 ou pas?
Oui, bien sûr
En dimension 2 par exemple voici ce que ça donne
étant donnés (n+1)(p+1) points (xi,yi,zi) de l'espace, avec (xi,yi)<>(xj,yj)
si i<>j, il existe une unique fonction polynômiale f(x,y), de degré en x
inférieur ou égal à n, de degré en y inférieur ou égal à p, telle que pour
tout i, f(xi,yi)=zi