polynome et equation differentielle

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Posted by: nemesis

bonsoir a tous
voila,j'ai un expression notée H_{n}(x) = (-1)^{n} e^{x^{2}} \frac {d^{n}}{dx^{n}} (e^{-x^{2}})
on me dit de calculer H_1 , H_2 , H_3 , H_4
je trouve des polynomes :H_1 (x)=2x \\ H_2 (x)=4x^2 - 2 \\ H_3 (x)=8x^3 - 12x \\ H_4 (x)=16x^4 -48 x^2 +12
aprés on me dit de conclure ,mais la j'en suis pas sur
j'ai pensé a poser y(x)=e^{-x^{2}} aprés y^{(n)} (x) = \frac {H_n (x)}{(-1^n)e^{x^{2}}...(*)
et donc y(x) est solution de (*) pour different n ,(j'ai pensé faire comme pour les polynomes de Legendre...)
mais vu que je ne trouve pas de relation entre les H_n (x) et que je suis pas trés sur de mon coup,j'aurai besoin d'un peu d'aide
merci d'avance


Posted by: marie-josèphe

bonsoir,

\frac {d^{n}}{dx^{n}} \left( e^{- x^{2}} \right) = (-1)^{n} H_{n}(x) e^{- x^{2}}

\frac {d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left( e^{- x^{2}} \right) = (-1)^{n} e^{- x^{2}} \left( H_{n}'(x)-2xH_{n}(x) \right)

\frac {d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left( e^{- x^{2}} \right) := (-1)^{n+1} H_{n+1}(x) e^{- x^{2}}










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