Polynôme de degré n

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Posted by: Imod

Avec la même idée mais pour un polynôme de degré n .

Montrer que le polynôme P(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_3X^3+a_0 à coefficients réels avec a_0 \neq 0 ne peut pas avoir toutes ses racines réelles .

Amusez-vous bien !

Imod


Posted by: ThSQ

Quid de X-1 ou X^2-2x+1 ou ... ?

Doit manquer des hypothèses !


Posted by: Imod

Citation:
Posté par ThSQ
Quid de X-1 ou X^2-2x+1 ou ... ?

Doit manquer des hypothèses !

Tu remarqueras que dans P(X) il n'y a pas de termes en X et en X^2 !

Imod


Posted by: aviateurpilot

P(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_3X^3+a_0=\bigprod_{k=1}^{n}(X+b_k)
3$ \{\bigprod_{k=1}^{n}b_{k}=a_0\neq 0\\ \bigsum_{k=1}^n\frac{1}{b_k}=\frac{0}{a_0}=0\\ \bigsum_{i<j}^n\frac{1}{b_ib_j}=\frac{0}{a_0}=0
3$0= 2\bigsum_{i> j}\frac{1}{b_ib_j}\\=\bigsum_{i\neq j}\frac{1}{b_ib_j}\\=\bigsum_{i=1}^k\frac{1}{b_i}\ (\bigsum_{j=1,j\neq i}^{n}\frac{1}{b_j}\)\\=\bigsum_{i=1}^n\frac{-1}{b_i^{2}}
donc 3$ \bigsum_{i=1}^n\frac{1}{b_i^{2}}=0
donc les b_i ne sont pas tous reels, sinon on aura \forall i\in\{1,2,..,n\}:\ \frac{1}{b_i}=0


Posted by: Imod

La rédaction est un peu lourde , mais c'est l'idée aviateur

Imod


Posted by: lapras

Bien joué,
le tout était de bien se servir des propriétés sur les racines d'un polynome et du fait que a1 = a2 = 0.



Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par ThSQ
Doit manquer des hypothèses !


Lol

Manquait une hypothèse : lire l'énoncé avec attention !!!










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