Mathématiques - polynome dans Z[X]

polynome dans Z[X]
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Posted by: aviateurpilot

salut

soit $P\in\mathbb{Z}[X]$ et $a_1,a_2,...,a_n$
tel que:
i) $pgcd(a_1,a_2,...,a_n)=1$
ii) $\forall k\in\mathbb{Z},\exist j\in\{1,2,...,n\}:\ a_j| P(k)$

montrer que $\exists j\in\mathbb{Z}:\ P(\mathbb{Z})\subset a_j\mathbb{Z}$

bn chance
(dans ma solution, j'ai pas utilisé le (i) ,donc ma solution est fausse ou bien (i) n'est pas une condition nessecaire)

Posted by: BiZi

Citation:

Posté par aviateurpilot

salut

soit $P\in\mathbb{Z}[X]$ et $a_1,a_2,...,a_n$
tel que:
i) $pgcd(a_1,a_2,...,a_n)=1$
ii) $\forall k\in\mathbb{Z},\exist j\in\{1,2,...,n\}:\ a_j| P(k)$

montrer que $\forall j\in\mathbb{Z}:\ P(\mathbb{Z})\subset a_j\mathbb{Z}$

bn chance
(dans ma solution, j'ai pas utilisé le (i) ,donc ma solution est fausse ou bien (i) n'est pas une condition nessecaire)

Salut,

$a_1,a_2,...a_n$ sont les coefficients du polynôme? S'ils sont quelconques c'est faux! Ils suffit de prendre un polynôme dont tous les coefficients sont égaux à $a_1$ , et un peu n'importe quoi pour les autres $a_i$ tant qu'ils sont premiers avec $a_1$ ; en 0 il risque de y'avoir un problème.

Posted by: aviateurpilot

Citation:

Posté par BiZi

dzl, j voualais ecrire $\exists j\in\mathbb{Z}:\ P(\mathbb{Z})\subset a_j\mathbb{Z}$

Posted by: BiZi

Dans ce cas il existe $j$ tel que $a_j$ divise $P(z)$ pour une infinité de $z$ . En utilisant les polynômes interpolateurs de Lagrange, on peut exprimer P sous la forme $P=P(x_0)*L_0+P(x_1)*L_1+...+ P(x_n)*L_n$ avec $n=deg P$ , et $a_j$ qui divise $P(x_i)$ pour tout $i \in [|0,n|]$ . On a alors P inclus dans $a_j \mathbb{Z}$ .

Posted by: aviateurpilot

Citation:

Posté par BiZi

Dans ce cas il existe $j$ tel que $a_j$ divise $P(z)$ pour une infinité de $z$ . En utilisant les polynômes interpolateurs de Lagrange, on peut exprimer P sous la forme $P=P(x_0)*L_0+P(x_1)*L_1+...+ P(x_n)*L_n$ avec $n=deg P$ , et $a_j$ qui divise $P(x_i)$ pour tout $i \in [|0,n|]$ . On a alors P inclus dans $a_j \mathbb{Z}$ .

je pense que c'est faux car deja pour n'importe quel polynome $\forall k\in\mathbb{Z}:\ P(x_0)|P(x_0+kP(x_0)),$
donc $P(x_0)$ divise P(x) pour une infinité de x et comme on a pas forcement $P(x_0)$ divise P(x) pour tt x

car $L_i(x_k)$ peux etre dans $\mathbb{Q}-\mathbb{Z}$ .
donc on a pas forcement $a_j$ |P=P(x_0)*L_0+P(x_1)*L_1+...+ P(x_n)*L_n

Posted by: ThSQ

Citation:

Posté par aviateurpilot

i) $pgcd(a_1,a_2,...,a_n)=1$

Juste pour être sûr : c'est bien le le pgcd global, les a_i ne sont pas a priori premiers entre eux deux à deux ?

Posted by: aviateurpilot

oui, le pgcd golobal,
mais j'ai pas utilisé (i) dans ma solution lol.

Posted by: aviateurpilot

je posterai ma solution apres 7jrs,
bn chance

Posted by: aviateurpilot

Citation:

definition: on dit que $(Q,x_1,x_2,....,x_n)\in\mathbb{Z}[X]\times \mathbb{Z}^n$ est gentille si $\forall k\in\mathbb{Z},\exist j:\ x_j|Q(k)$

si $\exist j:\ a_j=1$ alors $\forall k\in\mathbb{Z}:\ a_j=1|P(k)$
sinon on a $min(a_1,a_2,...,a_n)>1$
on considere alors la suite $(U_f)$ dans l'ensemble des gentilles tel que $U_0=(P,a_1,a_2,a_3,...,a_n)$
si $U_f=(Q,x_1,x_2,....,x_n)$ avec $min(x_1,x_2,...,x_n)>1$
on prend $S=\{p\ premier:\ p|\prod x_i\}=\{p_1,p_2,..,p_h\}$
$\exist i$ tel que $\forall k\in\mathbb{K}:\ p_i|Q(k)$ (je vous laisse montrer cela)
on prend alors $U_{f+1}=(\frac{Q}{p_i},\frac{x_i}{pgcd(x_i,p)})$ qui est bien gentille.

finallement on peux remarque que pour un certain $d\in\mathbb{N}:\ U_d=(\frac{P}{A},y_1,y_2,...,y_n)$ tel que $y_i=1$ pour un certain $i$ et d'apres la construction on doit avoir $a_i|A$ .
donc $\forall k\in\mathbb{Z}:\ a_i|A|P(k).$