Points cocycliques

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Posted by: yos

Je vous propose l'exercice suivant :
ABC est un triangle, ABED,BCGF,ACHI sont des carrés extérieurs à ce triangle. Alors les six points D,E,F,G,H,I sont cocycliques si et seulement si ABC est équilatéral ou bien isocèle rectangle.


Posted by: fahr451

bonsoir

avec les complexes "tout " se met en "équations " non ?


Posted by: yos

C'est même la seule solution que j'ai trouvée : surmoche! Mon surmoi en prends un coup.


Posted by: yos

Ce sujet n'a décidément aucun succès. Dommage. Si ça intéresse quelqu'un je mettrai ma solution avec les complexes.


Posted by: fahr451

pas vrai yos j'ai été intéressé et même si ce n'est pas une solution géométrique ce n'est pas super moche les complexes


Posted by: mt2sr

le sujet est intéressant j'ai pas pu trouvé une solution géométrique je ne sais pas si sa existe


Posted by: becirj

Bonjour

Une solution mi-géométrique mi-trigonométrique

On démontre sans difficulté que si les 6 points sont cocycliques alors le centre du cercle passant par les 6 points est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

On utilise les relations métriques dans un triangle avec les notations classiques:
OD^2=OA^2+AD^2-2OA\times AD\times \cos (\widehat {OAD})=R^2+4R^2\sin^2 C-4R^2\sin C \cos (\widehat {OAD})

\cos (\widehat {OAD})=\cos (\frac {\pi}{2}+\widehat {OAB})=-\sin (\widehat {OAB}=-\sin (\frac {\pi-\widehat {AOB}}{2})=-\cos (\frac {\widehat {AOB}}{2})=-\cos C

Donc OD^2=R^2(1+4\sin^2 C +4\sin C \cos C)\ et\ OI^2=R^2 (1+4\sin^2 B+4\sin B\cos B)

OI=OD \Longleftrightarrow \sin B(\sin B +\cos B)=\sin C ( \sin C+\cos C)

\sin B \times 2\sin (\frac {\pi}{4}) \cos (\frac {\pi}{4}-B)=\sin C \times 2\sin (\frac {\pi}{4}) \cos (\frac {\pi}{4}-C)

Après simplification, on passe à \sin (\frac {\pi}{4})+\sin (2B-\frac {\pi}{4})=\sin (\frac {\pi}{4})+\sin (2C-\frac {\pi}{4})

Il reste à résoudre l'équation \sin (2B-\frac {\pi}{4})=\sin (2C-\frac {\pi}{4}), ce qui donne, compte tenu que B et C appartiennent à ]0\pi[,\ B=C\ ou\ B+C=\frac {3\pi}{4}

On doit avoir de même A=B\ ou\ A+B=\frac {3\pi}{4}

4 cas à envisager :1) B=C et A=B donc le triangle est équilatéral.
2) B=C\ et\ A+B=\frac {3\pi}{4}\ avec\ A+B+C=\pi,\ B=C=\frac {\pi}{4},\ A=\frac {\pi}{2} triangle rectangle isocèle
3) B+C=\frac {3\pi}{4}\ et\ A=B même chose triangle rectangle isocèle
4)B+C=\frac {3\pi}{4}\ et\ A+B=\frac {3\pi}{4},\ alors\ A=C=\frac {\pi}{4}\ et\ B=\frac {\pi}{2}

Au point de vue géométrique, la réciproque ne pose aucun problème.


Posted by: yos

Trés bonne méthode Becirj (et content de te revoir sur ce forum).
L'égalité 2\sin x(\sin x +\cos x)=1-\sqrt2\cos(2x+\frac{\pi}{4}) peut se faire vite en passant tout de suite aux arcs doubles par les formules de linéarisation.










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