Mathématiques - point de Torricelli-Fermat

point de Torricelli-Fermat
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Posted by: exilim

Bonsoir !
Dans le plan on considère un triangle ABC direct dont les angles aux somment sont tous strictement inférieurs à $\frac{2\pi}{3}$ . On note
Ca = $4$(\vec{MC},\vec{MB})=\frac{\pi}{3}[\pi]$
Cb = $4$(\vec{MA},\vec{MC})=\frac{\pi}{3}[\pi]$
Cc = $4$(\vec{MB},\vec{MA})=\frac{\pi}{3}[\pi]$

1- comment caractériser géométriquement Ca,Cb et Cc ?
2- comment montrer que Ca,Cb,Cc ont un point commun que l'on notera I (point de Toricelli du triangle ABC )?
3- comment déterminer l'ensemble des points M du plan qui réalisent le minimum de la somme MA+MB+MC ?
(indication on pourra commencer par chercher un repère du plan dans lequel les affixes respectives a, b, et c des points A, B et C vérifient :
A $\in\mathbb{R}+$ et $4$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=0$

ce problème est la cinquième partie d'un exercice assez compliqué, je peux éventuellement vous communiquez des résultats démontrés précédemment si besoin !

Posted by: abcd22

Bonsoir,
$C_a$ est le cercle circonscrit au triangle équilatéral de côté [BC] et dirigé vers l'extérieur du triangle ABC, privé des points B et C.
Pour le 2, comme les angles aux sommets du triangle sont strictement inférieurs à $2\pi / 3$ on sait que $C_a$ et $C_b$ ont un point commun [#], il suffit de lui donner un nom et de montrer qu'il vérifie la condition pour appartenir à $C_c$ .

[#] Les cercles ne sont pas tangents (ce qui se produit si l'angle est égal à $2\pi/3$ ), donc ils ont un point d'intersection différent de C (C n'appartient pas à $C_a$ et $C_b$ ).

Pour la 3, le repère suggéré est un repère d'origine I (avec des axes bien choisis). Là je pense qu'on utilise entièrement l'hypothèse que les angles aux sommets du triangle sont plus petits que $2\pi /3$ pour dire que I est situé à l'intérieur du triangle ABC et trouver l'égalité $\frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} + \frac{c}{|c|} = 0$ .
Ensuite si on fait une résolution analytique en écrivant $b = x_B+ i y_B$ , $c = x_C+ i y_C$ , $z = x + iy$ , AM + BM + CM = ... calcul des dérivées partielles et recherche des points critiques, on trouve I comme seul point critique. Il faut justifier que c'est bien un minimum car on sait que la somme atteint son minimum.

Posted by: Jacques COLLOT

Le point M, dit point de Fermat, est l'unique point du plan qui minimise la somme.

Plutôt que d'utiliser la grosse artillerie de la géométrique analytique, une alternative simple est la géométrique synthétique

Voir http://users.skynet.be/bk337103/EXGSP070.html

Regarder dans le fond.
SI cela ne suffit pas je peux donner d'autres explications

BAV

Posted by: yos

géométrie synthétique? Première fois que j'entends ça!
C'est de la géométrie belge?

Posted by: Jacques COLLOT

Désolé mais ce n'est peut-être pas la meilleure réponse que tu aurais pû faire.
Ce genre d'humour ne me semble pas être en adéquation avec les critères minimum d'éthique et de politesse qu'il convient de respecter sur ce site.

Pour répondre spécifiquement à la question, voir
wikipedia
Ne souhaitant pas polémique davantage. Je préfère en rester là.

PS : Pour info, je suis français, né à Paris et de mère normande. Mais cela n'a strictement aucune importance.

Posted by: yos

Citation:

Posté par Jacques COLLOT

Désolé mais ce n'est peut-être pas la meilleure réponse que tu aurais pû faire.
Ce genre d'humour ne me semble pas être en adéquation avec les critères minimum d'éthique et de politesse qu'il convient de respecter sur ce site.

Remplace "belge" par "américaine". Trouves-tu cela encore péjoratif? Celui de nous deux qui a des idées préconçues n'est pas forcément celui qu'on croit.

Citation:

Posté par Jacques COLLOT

Pour répondre spécifiquement à la question, voir
wikipedia
Ne souhaitant pas polémique davantage. Je préfère en rester là.

Si j'ai fait cette remarque sur l'appellation "géométrie synthétique", c'est parce que, ayant enseigné pendant 20 ans à presque tous les niveaux, je n'ai jamais entendu cette expression (comme quoi on peut passer à côté de choses essentielles). Tu pourras d'ailleurs la chercher (longtemps) dans les volumes de géométrie de Berger par exemple. Il s'agit manifestement d'un synonyme de "géométrie pure". Grâce à toi je mourrai moins bête.

Citation:

Posté par Jacques COLLOT

PS : Pour info, je suis français, né à Paris et de mère normande. Mais cela n'a strictement aucune importance.

Si cela n'a pas d'importance, il ne fallait pas le dire.
Je ne suis pas désolé.

Posted by: nuage

Salut yos
je suis déçu.

Citation:

Posté par yos

Remplace "belge" par "américaine". Trouves-tu cela encore péjoratif? Celui de nous deux qui a des idées préconçues n'est pas forcément celui qu'on croit.

Il me semble que cela est aussi péjoratif (en ignorant les "blagues" sur les belges). Les maths n'ont pas de nationalité.

Citation:

Posté par yos

Ce qui suit est sans garantie, mais j'ai rencontré cette expression à propos du théorème de Dandelin "théorème belge" en préparant l'agreg. Et il me semble bien que c'était dans Berger, qui était ma source quasi unique en géométrie.

Citation:

Posté par yos

Je ne suis pas désolé.

Tu devrais.

Posted by: tize

Bon ça suffit...il faut respirer un coup et se detendre,
je ne pense pas que Yos est pensé à mal en parlant de "géométrie belge", il n'y a dailleurs (comme vous l'avez écrit) rien de péjoratif là-dedans.
Ne prenez pas la mouche pour si peu, à croire que vous vous connaissez...
Continuons à parler de mathématiques sans être désolé de quoi que ce soit, nous somme tous là pour ça.

P.S. : je suis originaire de la planète Krypton alors le premier qui fait une blague sur Superman je lui balance tous les tomes du Berger sur la tête...

P.S.2 : avant de me faire lyncher je tiens à préciser que c'était bien évidement une plaisanterie (nulle, il est vrai...), histoire de détendre l'atmosphère...

Cordialement
José