Mathématiques - Poincaré direct pour les 1-formes différentielles

Poincaré direct pour les 1-formes différentielles
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Posted by: robby3

Bonjour tout le monde,j'ai du mal avec cette exercice...
Soit $\rm \alpha=\Bigsum\alpha_idx_i$ une 1-forme fermée déﬁnie sur
un ouvert $U$ de $R^n$ etoile en 0. On pose
$f(x) =\Bigsum_{i=1}^n x_i \Bigint_0^1 \alpha_t(tx) dt$
>Calculer df.

Merci d'avance de votre aide!
mon soucis c'est l'integrale!

Posted by: mathelot

$\displaystyle df=\alpha$

Si $\alpha$ est fermée et U étoilé alors ...

Posted by: robby3

Salut,
$df=\alpha$ ? coment vous faites avec l'integrale?

si $\alpha$ est fermé et $U$ étoilé,on a poincaré donc $\alpha$ est exacte sur U cad il existe une 2-forme sur $U$ $\bar{\alpha}$ tel que $d(\bar{\alpha})=\alpha$
non?

Posted by: busard_des_roseaux

bjr,

$\alpha$ étant fermée et U étoilé,

il existe $F: U \subset \mathbb{R^n} \rightarrow R$
telle que $dF(x)=\alpha(x)$

L'application $g:t \rightarrow F(tx)$ , de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ a pour dérivée
g'(t)=dF(tx).x (produit scalaire dans $R^n$ =nombre dérivé=nb réel)

d'où:
$f(x)=g(1)-g(0)=F(x)-F(0)$
$df = dF = \alpha$

Posted by: robby3

Bonsoir busard_des_roseaux,
je te suis jusque là:

Citation:

d'où:
$f(x)=g(1)-g(0)=F(x)-F(0)<br /> df = dF = \alpha$

je comprend pas le d'ou?

peux tu si tu as le temps expliciter encore plus.

Posted by: busard_des_roseaux

f est une primitive de sa dérivée.

Posted by: robby3

Bon,j'essaye de reprendre le fil de la chose.

on veut df.

f $(x) =\Bigsum_{i=1}^n x_i \Bigint_0^1 \alpha_t(tx) dt$
donc $df(x)=d(\Bigsum_{i=1}^n x_i \Bigint_0^1 \alpha_t(tx)) dt$
ensuite que fait-on?
la fonction $\alpha_t$ de départ c'est ce qu'on appelle $g$ par la suite?

Posted by: busard_des_roseaux

bjr,

l'idée , c'est que $\alpha$ se primitive

forme fermée+ ouvert étoilé => forme exacte.

Posted by: robby3

AHHH!!
et on a montré que $\alpha=df$ ?
ok je crois que j'ai saisi la chose!
Merci bien!