Mathématiques - Plusieurs exercices d'OIM

Plusieurs exercices d'OIM
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Posted by: lapras

Bonsoir,

1) "Soient a,b et c les longueurs des côtés d'un triangle, montrer que a²(b+c-a) + b²(c+a-b) + c²(a+b-c) <= 3abc"

2)"Soit a > 0 un réel fixé. Soit f(x+a) = 0.5 + sqrt( f(x) - f(x)² ).
Montrer que f est périodique"

Bon courage !

Posted by: aviateurpilot

pour 2) je pense qu'il suffit de poser de calculer
f(x+2a),f(x+3a),f(x+4a) en fonction de f(x)
cas il se peux que la periode soit de la forme $ha$ pour h petit

Posted by: lapras

Ok aviateurpilot, mais si par un malheureux hasard ils ont une période de plusieurs miliers de a, comment fais tu ?
Nan, pour que l'exercice (tres facile), aie de l'intéret il faut trouver une astuce.

Posted by: aviateurpilot

on pose $h(x)=f(x)-f(x)^2$
$f(x+a)^2=h(x)+\frac{1}{4}+\sqrt{h(x)}=h(x)-\frac{1}{4}+f(x+a)$
donc $h(x)+h(x+a)=\frac14=h(x+a)+h((x+a)+a)$
donc $h(x+2a)=h(x)$
d'ou $(f(x+2a)-f(x))(f(x+2a)+f(x)-1)=0$
donc $\forall x\in \mathbb{R}:\ f(x+2a)=f(x)\ ou f(x+2a)=1-f(x)$
dans les deux cas on a $f(x+4a)=f(x)$

Posted by: lapras

Bravo aziz, la période est bien de 2a !

Posted by: ThSQ

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Posté par lapras

1) "Soient a,b et c les longueurs des côtés d'un triangle, montrer que a²(b+c-a) + b²(c+a-b) + c²(a+b-c) <= 3abc"

Manips algébrique simple :

$\sum_{cyclique} a^2 (b+c-a) = \prod_{cyclique} (a+b-c) + 2abc$

$\sqrt{a^2-(b-c)^2} \leq a$
$\sqrt{b^2-(b-a)^2} \leq b$
$\sqrt{c^2-(a-c)^2} \leq c$

On multiplie tout : $\prod_{cyclique} (a+b-c) \leq abc$

Posted by: lapras

Il y a une résolution plus belle pour ce type d'inéquations :)
Cependant il faut connaître une inégalité qui est tres connue pour les olympiades.

Posted by: ThSQ

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Posté par lapras

Il y a une résolution plus belle pour ce type d'inéquations :)
Cependant il faut connaître une inégalité qui est tres connue pour les olympiades.

La beauté c'est très relatif ....

On peut aussi poser a=x+y, .... (Ravi)
Ca revient à $\sum xy(y+z) \geq 6 xyz$ qui est vrai par l'inég entre moyennes.

On peut aussi remarquer que $(a-b)^2 (a+b - c ) \geq 0$ et consort, tout additionner et ça donne le truc voulu.

On peut aussi utiliser Al-Kashi, après des manips triviales (mais pénibles) ça revient : $\sum cosA \leq 3/2$ qui est bien connu (au moins par les candidats aux olympiades !!)

Perso je préfère la 1ère que j'ai donnée.

Posted by: lapras

Oui effectivement je parlais de ta deuxieme méthode en posant a = x+y
je suis étonné du nombre de méthodes pour résoudre cet exercice !

Posted by: ThSQ

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Posté par lapras

nombre de méthodes pour résoudre cet exercice !

Sans aucun doute il y en a d'autres ....

Posted by: ~oa~

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Posté par ThSQ

C'est bonne comme méthode, Chapeau

Posted by: ~oa~

$\<br /> {\rm{ }}a\left( {b + c - a} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}b\left( {c + a - b} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}c\left( {a + b - c} \right){\rm{ }} \le {\rm{ }}3abc \Leftrightarrow {\rm{ }}a\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right) + b\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right) + c\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right) \ge 0<br /> \$
$\<br /> {\rm{ ce qui est trivial par }}l'in\'e galit\'e {\rm{ }}de{\rm{ }}Schur{\rm{ cas t = 1 }}{\rm{.}}<br /> \$

Posted by: lapras

merci pour la nouvelle inégalité !