pliage

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Posted by: yos

Bonjour à tous. Voilà un petit problème pas trop dur.
En pliant un triangle équilatéral de côté 4, on amène un sommet sur le côté opposé à une distance 1 de l'un des deux autres sommets.
Quelle est la longueur du pli?


Posted by: daiski

salut !
ça ne doit pas être difficile si on connaît la définition d'"un pli" . alors c'est quoi un pli ? (longeur .. de quoi?)


Posted by: yos

Je croyais que c'était clair.
Tu prends une feuille de papier, tu découpes un triangle ABC de côté 4, tu le plies de façon à amener le sommet A sur le point A' du côté [BC] de façon que BA'=1. Le pli est un segment [UV] avec U sur [AB] et V sur [AC]. Quelle est sa longueur?


Posted by: rene38

Bonsoir
Citation:
Posté par yos
Bonjour à tous. Voilà un petit problème pas trop dur.
En pliant un triangle équilatéral de côté 4, on amène un sommet sur le côté opposé à une distance 1 de l'un des deux autres sommets.
Quelle est la longueur du pli?
Sauf erreur, http://www.maths-forum.com/images/l...fb7e3e480b2.gif


Posted by: daiski

Rene a donné la réponse , moi je donne ma méthode , j'espère qu'elle sera bien saisie.
j'ai rapporté le plan du triangle à un repère orthonormé (o x y) d'origine c alors A(2,2sqr(3)) b(4,0) c(0,0) j(3,0) I (5/2,racine(3))

en fait , j'ai compris le pli comme étant la symètrie axiale d'axe 'la médiatrice du segment [AJ] où J est le point de [BC] tel que BJ = 3. alors l'image de A sera J les images de U et V seront les mêmes puisque ces points appartiennent aux intersections respectives de cette médiatrice et des segments [AC] et [AB] , les coordonnées de ces points s'obtiennent analytiquement très facilement (il suffit d'écrire les équations cartésiennes de la médiatrice et des droites (AB) et (AC) et résoudre des systèmes de deux équations . la distance s'en déduira alors de ces coordonnées ;)

je viens d'en faire le brouillon , j'espère que j'ai pas commis d'erreur.


Posted by: rene38

Ma première méthode (avec les mêmes notations que daiski) :
Calcul de AJ (Pythagore) d'où AI (I point d'intersection de (UV) et (AJ))
Calcul du cosinus de l'angle en A dans les triangles AJC et AJB (Al Kashi) ;
calcul du sinus puis de la tangente de ces angles ;
utilisation de cette tangente dans les triangles AIU et AIV pour calculer UI et VI.

Les 2 méthodes donnent le même résultat ! étonnant, non ?


Posted by: daiski

en fait j'ai pas fait les calcules René je me suis contenté de voir qu'est ce qui se passe ! j'ai compté sur ton résultat alors refais les calculs mais je suis sur que la méthode analytique donnera qqc :)


Posted by: yos

Citation:
Posté par rene38

C'est aussi ce que j'ai trouvé. En appliquant la formule d'Al Kashi trois fois de suite : dans UBJ, VCJ puis AUV. Y-a-t-il plus simple? La méthode analytique doit être plus longue je pense.


Posted by: daiski

ba oui c'est pourquoi j'ai pas osé terminer les calculs dès que j'ai perçu la première racine mais c'est plus 'joli' comme raisonnement...'fin j'pense..










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