Pivot de Gauss

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Florix
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Pivot de Gauss

par Florix » 06 Fév 2006, 19:34

Bonjour,

1/ Qqn peut-il me dire précisement ce qu'est la méthode du Pivot de Gauss ?
Je croyais que c'était éliminer les variables pour trouver la solution d'un systeme d'équation mais je crois que je me suis trompé non ?

2/

Soit Fm = (x,y,z) € R^3 tel que

| 2x + y – z = 0
| x + my + z = 0
| 3x + y – mz = 0

La question du devoir est : Comment déterminer suivant les valeurs de m la dimension de Fm ?


Alors moi j'ai résolu le système selon la méthode du pivot de Gauss et voici ce que j'ai trouvé :

| y = z
| m = (1/2)
| x = (-1/2)y

A quoi cela m'avance t'il ??? :hum:



memphisto
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par memphisto » 06 Fév 2006, 19:44

Il y a un truc que tu n'as pas capté, c'est que les variables "inconnues" de ton système sont x, y et z, alors que m est un paramètre. Bien sûr il est variable, mais dans le cours de ton raisonnement, il doit être traité comme un coefficient constant, au même titre que les nombres 1, 2, 3, -1, présents dans ton système.
Do you know what I mean?

Florix
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par Florix » 06 Fév 2006, 19:48

No sorry !

Dans ce cas là, my + y = (m+1)y ?

Et comment je résout mon systeme alors ?

memphisto
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par memphisto » 06 Fév 2006, 19:52

Pour résoudre le système, il faut trouver les valeurs de x, y et z qui le vérifient.
Bien sur, ce vecteur solution (x,y,z) que tu cherche, dépend de m en tant que paramètre.
Essaye déja de résoudre le système lorsque m=0, et montre nous la réponse.

Florix
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par Florix » 06 Fév 2006, 20:02

memphisto a écrit:Pour résoudre le système, il faut trouver les valeurs de x, y et z qui le vérifient.
Bien sur, ce vecteur solution (x,y,z) que tu cherche, dépend de m en tant que paramètre.
Essaye déja de résoudre le système lorsque m=0, et montre nous la réponse.


Pour m = 0 je trouve

| x = - z
| x = -(1/3)y
| -y + y = 0 (lol)

Et donc faut que j'en conclue quoi ?

Florix
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par Florix » 06 Fév 2006, 20:12

Mouais là je vois pas ce que je dois en conclure

(faut tout me dire je sais mais la je vois vraiment pas....)

Et puis pourquoi fait on avec m = 0 ?

Parce qu'apres fauda faire avec m > 0 et m < 0 et dans ce cas la je vois pas comment résoudre le systeme !

Qqn peut il m'expliquer clairement ? :help:

Merci

memphisto
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par memphisto » 06 Fév 2006, 20:35

| 2x + y – z = 0
| x + my + z = 0
| 3x + y – mz = 0

De la première équation on tire: y=z-2x, que l'on substitue dans les deux autres:

| x + m(z-2x) + z = 0
| 3x + z-2x – mz = 0

On obtient:

| (1-2m)x + (m+1)z = 0
| x + (1–m)z = 0

On obtient alors deux chose:

Un système de deux équations en les inconnues x et z (ci-dessus), et une relation y=z-2x, qui nous fournira y dès que l'on aura trouvé x et z.
On a donc réduit le système de 3 équations à un système de deux équations + une relation.

Peux-tu résoudre, selon le même principe, le système:
| (1-2m)x + (m+1)z = 0
| x + (1–m)z = 0
?

Florix
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par Florix » 06 Fév 2006, 21:13

Ah bah merci !

C'est donc ça le pivot de Gauss !

Du coup ensuite j'ai trouvé x = - z (1-m)

Donc on a le systeme suivant (après calculs) :

| -2z (1-m)^2 + z (m+1) = 0
| x = - z (1-m)

| z (m+1) = 2z (1-m)^2
| x = - z (1-m)

On simplifie par z et on arrive au ploynome du second degré suivant :

2m^2 - 3m - 1 = 0

Les solutions sont m = 1 et m = 1/2

merci beaucoup !

Ceci dit, la question était : donner la dimension de Fm en fonction des valeurs de m

Donc là on a deux solutions pour m donc dim Fm = 2 non ?

memphisto
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par memphisto » 06 Fév 2006, 21:31

| (1-2m)x + (m+1)z = 0
| x + (1–m)z = 0

x = -(1–m)z = (m-1)z, d'où

(1-2m)(m-1)z + (m+1)z=0, d'où

[(1-2m)(m-1) + (m+1)]z=0.
Donc (m-1-2m²+2m+m+1)z=0, d'où
(-2m²+4m)z=0, ou encore (2m²-4m)z=0, finalement:
2m(m-2)z=0.
Alors 2 cas:

1) Si m différent de 0 et 2. Alors cette équation est vérifiée pour z=0. On en déduit que x=0, et donc que y=0.
Il s'en suit que la solution du système pour m différent de 0 ou 2 est: (0,0,0).

2) Si m égale 0 ou 2:
Dans ce cas z peut prendre n'importe quelle valeur réelle, par exemple z=a, on aura encore 2m(m-2)z=0, car m est égale a 0 ou 2.
Il s'en suit que x=(m-1)a, et y=a-2(m-1)a=a-2ma+2a=(3-2m)a.

Donc la solution dans ce cas est: ((m-1)a, (3-2m)a, a), pour m=0 ou m=2.

memphisto
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par memphisto » 06 Fév 2006, 21:41

Dans le cas (1), on voit que la seule solution est le point 0, donc en tant que sev de R^3, il est de dimension 0: dim(Fm)=0 si m différent de 0 ou 2.

Dans le cas (2), pour m=0 ou m=2, chaque point ((m-1)a, (3-2m)a, a) est un point de la droite linéaire engendrée par le vecteur ((m-1), (3-2m), 1).
En effet, pour tout a dans R, a.((m-1), (3-2m), 1)=((m-1)a, (3-2m)a, a).
C'est donc un sev de R^3 de dimension 1.
Donc dim(F0)=dim(F2)=1.

Florix
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par Florix » 06 Fév 2006, 23:05

MERCI BEAUCOUP MEMPHISTO !

Ceci dit à la fin tu ne te serais pas trompé par hasard ???

Pour m = 0 ou m = 2, alors la seule solution possible est (0,0,0)

Pour m différent de 0 et 2 .....

JE me trompe ?

Florix
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par Florix » 06 Fév 2006, 23:19

Ah non tu ne t'es pas trompé en fait lol, c'est moi qui ai lu trop vite ! :crash:

Vraiment merci enormement Memphisto tu me sauves (peut etre pas la vie mais tu me sauves lol)

+++

Florix

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