Pistes pour une récurrence ?

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Posted by: Aldebaran

Bonjour à tous !
J'ai essayé de montrer la relation suivante par récurrence sur \large n mais je vous avoue que je ne suis pas sûr de mon résultat (notament en ce qui concerne le changement d'indice à un moment donné).
Est-ce-que quelqu'un aurait une idée, ou une piste ?

\Large a^{n+1}-b^{n+1}= \large \(a-b\) \sum _{k=0}^n a^{n-k}b^{k}


Posted by: dilzydils

Il manque (a-b) devant sigma non??


Posted by: Aldebaran

Effectivement, autant pour moi !
Je corrige sur l'original...


Posted by: Evariste


Voilà un début de solution qui aboutit (heureusement !!!) et qui ne fait pas intervenir de changement d'indice.

Naturellement, la relation est vraie pour http://www.maths-forum.com/images/l...4bc51046641.gif.
Hypothèse de récurrence au rang http://www.maths-forum.com/images/l...97d75aff967.gif :
http://www.maths-forum.com/images/l...2f7b87a8dfc.gif .

A partir de là, tu utilises ton HRhttp://www.maths-forum.com/images/l...61b74d6d93d.gif pour écrire :
http://www.maths-forum.com/images/l...d92af13f7f8.gif .

Il ne reste plus qu'à multiplier par http://www.maths-forum.com/images/l...01cbbb7fd61.gif les deux membres de cette dernière égalité, et à transformer le membre de droite obtenu pour vérifier l'HRhttp://www.maths-forum.com/images/l...86c8718157b.gif.



Posted by: Aldebaran

J'essaye depuis 1/2 heure de suivre cette voie mais j'avoue ne pas réussir à boucler le raisonnement...
On multiplie donc par \large a chaque membre de l'égalité, on retombe sur :
\large a^{n+1}=\underbrace {\Large a.b^{n}}_{que\\faire\\de\\ce\\terme{?}} +(a-b). \sum _{k=0}^{n-1} \large {a^{n-k}.b^{k}}.
Et là je suis bloqué (j'ai honte...)
Je n'arrive pas, d'une part à faire entrer ce terme sous une somme et d'autre part à faire apparaître le rang \large b^{n+1}


Posted by: Evariste

Tout simplement en ajoutant et en retranchant http://www.maths-forum.com/images/l...48893f73431.gif dans le membre de droite ! Après tu factorises http://www.maths-forum.com/images/l...aaf8231e9c5.gif en http://www.maths-forum.com/images/l...2c0d843354a.gif, ce qui te donnes le terme pour http://www.maths-forum.com/images/l...71a987d566f.gif manquant dans la somme, et je te laisse conclure !


Posted by: Galt

Astuce : ab^n=(a-b)b^n+b^{n+1} et ça baigne.


Posted by: Aldebaran

Thanks for jour help.
I'm enjoy to be here with you !!!



Posted by: Evariste

De nada !










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