Signification énergétique du facteur de qualité dans un RLC

[Kikoo <3 Bieber]

Bonjour,

On considère le régime libre d'un circuit RLC série peu amorti (le facteur de qualité Q est supérieur à 1/2).
Au début, le condensateur est chargé à et .
On me demande de calculer q(t) et i(t) en tenant compte des conditions de continuité.

C'est classique, j'utilise la loi des mailles pour créer une équadiff par rapport à q(t) :
[CENTER][/CENTER]
Je résous l'équation caractéristique associée à cette équadiff du second ordre. Je trouve un Delta qui vaut et si Q est supérieur à 1/2 alors Delta est négatif.
Dans ce cas, j'ai deux racines qui valent avec et

Je pose [CENTER][/CENTER]
et en dérivant :
[CENTER][/CENTER]
Les conditions de continuité sont :

Donc je trouve et en me plaçant à q(0) et i(0).

D'où :


et :

Montrer que, dans le cas d'un circuit très peu amorti () la constante de temps est très supérieure à la période des oscillations. En déduire les expressions approchées suivantes :

Alors je passe par des inégalités :

Si alors d'où et comme est une constante assez petite (c'est du bluff, je suis pas sûr de moi car vaut quand même près de 13, ce qui n'est pas négligeable), elle n'a pas beaucoup d'importance.
On en déduit que

Et là, je comptais négliger des termes comme ou encore dans les expressions de i et q.
Le problème, c'est que dans celle de i(t), il me manque un pour que cela soit bon ! Or je ne vois pas où j'aurais pu le rater. A ce stade des calculs, je m'y retrouve plus trop...

Merci de m'aider !

[Benjamin]

Salut,

ton calcul de i(t) est faux. D'ailleurs, tu vois bien qu'au final, tu as quelque chose qui n'est pas homogène ;)
La dimension de A et B est des Coulombs, et pour i, tu as un facteur B-A/(2t) donc tu cherches à aditionner des Coulombs avec des Ampères.

Quand tu dérives cos(wt), y a un w qui sort ;)

[Kikoo <3 Bieber]

Mais ce n'était que ça ^^ Un simple problème de dérivation de fonctions sinusoïdales, j'ai terriblement honte :blush:
Cela m'apprendra à vérifier mes calculs et l'homogénéité de mes formules physiques (chose que j'oublie tout le temps !!)

Merci beaucoup Benjamin !