Physique nucléaire, constante de temps

De la mécanique au nucléaire, nos physiciens sont à l'écoute
Bastien L.
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Physique nucléaire, constante de temps

par Bastien L. » 21 Mai 2009, 16:08

Re-bonjour!


En révisant la physique nucléaire, je ne trouve aucune justification du fait que la constante de temps tau, égale à l'inverse de la constante de radiocativité lambda, représente la durée de vie moyenne d'un atome radioactif en question…

Ok, l'analyse dimensionnelle est simple… Mais à part ça? Ca doit être un résultat de probas continues, mais je ne suis pas expert…


Pouvez-vous m'aider? Merci!



Dominique Lefebvre
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par Dominique Lefebvre » 21 Mai 2009, 16:34

Bastien L. a écrit:Re-bonjour!


En révisant la physique nucléaire, je ne trouve aucune justification du fait que la constante de temps tau, égale à l'inverse de la constante de radiocativité lambda, représente la durée de vie moyenne d'un atome radioactif en question…

Ok, l'analyse dimensionnelle est simple… Mais à part ça? Ca doit être un résultat de probas continues, mais je ne suis pas expert…


Pouvez-vous m'aider? Merci!

Bonjour,
Je crois nécessaire de revenir aux définitions....
Voyons déja la signification de lambda, la constante de désintégration pour employer le terme usité chez les physiciens.
Pour la définir, on va d'abord définir l'activité (ou taux de désintégration), que l'on note classiquement R, et qui est le rapport du nombre d'atomes désintégrés par unité de temps (deltaN/deltaT).
La constante de désintégration représente donc la fraction d'un échantillon d'atomes qui se désintègre par unité de temps, soit lambda = R/N. La dimension de lambda est bien [T]^-1

Voyons maintenant ce qu'est tau. C'est la durée de vie moyenne d'une espèce radioactive. Elle n'a pas de sens physique précis. Elle permet simplement de caractériser une espèce chimique.
pour calculer tau, il faut se ramener à l'équation qui formalise la décroissance de population radioactive, en l'approchant par son activité R = R0*exp(-lambda*t).
La valeur moyenne de cette exponentielle est atteinte pour t = 0,693*tau (lorsque R/R0 = 1/2).
La dimension de tau est [T].

Lambda est un résultat d'expérience. La forme de l'exponentielle découle bien d'une analyse statistique (établie par Schweidler en 1905). Toutefois, cette formule est assez approximative, car elle suppose que R est une fonction continue du temps, ce qui n'est pas vrai.

Tau est une donnée conventionnelle. Après tout, on aurait pu choisir de caractériser chaque espèce par son dixième de vie, au lieu de sa demi-vie.

Bastien L.
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par Bastien L. » 22 Mai 2009, 10:46

Salut! Merci pour ta réponse!


Dominique Lefebvre a écrit:
Voyons maintenant ce qu'est tau. C'est la durée de vie moyenne d'une espèce radioactive. (1) Elle n'a pas de sens physique précis. (2) Elle permet simplement de caractériser une espèce chimique.

pour calculer tau, il faut se ramener à l'équation qui formalise la décroissance de population radioactive, en l'approchant par son activité R = R0*exp(-lambda*t).
La valeur moyenne de cette exponentielle est atteinte pour t = 0,693*tau (lorsque R/R0 = 1/2). (3)
La dimension de tau est [T].



(1) Je suppose que c'est la durée de vie moyenne d'une molécule (ou d'un atome) d'une espèce (ou d'un élément) radioactif…? (Excuse-moi, je chipotte un peu, mais c'est pour être sûr de ne pas daire d'erreur…)

(2) Je ne comprends pas: au fond, ne viens-tu pas d'en donner le sens physique?

(3) Pour le calcul, je suis un peu perdu. On calcule la durée de vie moyenne en passant par la moyenne de l'activité? Je n'ai pas compris pourquoi… Et ensuite, je ne comprends pas d'où sort le t=0,693*tau, et le R/R0=1/2…

Merci pour ton aide…

Dominique Lefebvre
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par Dominique Lefebvre » 22 Mai 2009, 11:51

Bastien L. a écrit:Salut! Merci pour ta réponse!





(1) Je suppose que c'est la durée de vie moyenne d'une molécule (ou d'un atome) d'une espèce (ou d'un élément) radioactif…? (Excuse-moi, je chipotte un peu, mais c'est pour être sûr de ne pas daire d'erreur…)

Une molécule ne se désintègre pas! Ce sont les noyaux qui se désintègrent... par abus de langage, on parle d'atomes, mais pas de molécules.
La constante de désintégration est une grandeur statistique. Aussi on ne parlera pas de la durée de vie moyenne d'un noyau, mais d'une population de noyaux. Tout comme la grandeur moyenne d'un individu serait un non sens...


(2) Je ne comprends pas: au fond, ne viens-tu pas d'en donner le sens physique?

Non, dans la mesure où il s'agit d'une convention... Si l'on parle bien de la demi-vie.


(3) Pour le calcul, je suis un peu perdu. On calcule la durée de vie moyenne en passant par la moyenne de l'activité? Je n'ai pas compris pourquoi… Et ensuite, je ne comprends pas d'où sort le t=0,693*tau, et le R/R0=1/2…

Merci pour ton aide…

C'est de cette manière que cela a été fait historiquement... Mais tu peux le faire à partir de la décroissance du nombre de noyaux: c'est la même forme d'exponentielle N = N0*exp(-lambda*t). Mais cela suppose de pouvoir compter des noyaux ce que l'on ne savait pas faire en 1905. Par contre, on savait compter les désintégrations, mais sans avoir le corpus théorique qui les liait au nombre de noyau.

Pour le calcul, c'est assez trivial. Par définition, la demi-vie est le temps tau tel que R = R0/2 (ou N = N0/2). Si je reprends l'équation, j'ai donc R = R0*exp(-lambda*tau) = R0/2 d'où il découle que exp(-lambda*tau) = 1/2. Et donc lambda*tau = 0,693...

Bastien L.
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par Bastien L. » 22 Mai 2009, 12:12

Je viens de remarquer quelque chose…

La loi de Soddy, qui est , équivalant à , on a: …

J'imagine que est la durée de vie moyenne d'un noyeau… Mais alors que vient faire le facteur -N ?


Aidez-moi, je suis perdu! ^^


MODIF.: Pardon, Dominique, j'ai écrit en même temps que toi… Je lis donc ton message… :-)

Bastien L.
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par Bastien L. » 22 Mai 2009, 12:17

POUR DOMINIQUE: J'ai l'impression qu'on parle à la fois de tau et de ;)t1/2, et ça m'égarre… Ne pourrait-on pas laisser ;)t1/2 de côté pour l'instant, s'il-te-plaît? J'essaie de comprendre en quoi ça fait tau, la durée de vie moyenne d'un noyeau…

Dominique Lefebvre
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par Dominique Lefebvre » 22 Mai 2009, 18:19

Encore une fois, évite de parler de durée de vie moyenne d'un noyau (orhographe): cela n'a pas de sens physique...

Dominique Lefebvre
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par Dominique Lefebvre » 22 Mai 2009, 18:23

Bastien L. a écrit:Je viens de remarquer quelque chose…

La loi de Soddy, qui est Image, équivalant à Image, on a: Image…

J'imagine que Image est la durée de vie moyenne d'un noyeau… Mais alors que vient faire le facteur -N ?


Aidez-moi, je suis perdu! ^^


MODIF.: Pardon, Dominique, j'ai écrit en même temps que toi… Je lis donc ton message… :-)

On peut écrire cette équation différentielle sous la forme dN/dt = -lambda*N ou encore mieux dN/N = -lambda*dt ce qui est plus facile à intégrer!
Le signe - a une signification physique : c'est une décroissance! Le nombre de noyaux de la population de l'espèce diminue.
Mais attention, ils ne dispaissent pas cest noyaux! Ils se transmutent en une autre espèce... D'où l'importance de la terminologie...

Dominique Lefebvre
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par Dominique Lefebvre » 22 Mai 2009, 18:25

Bastien L. a écrit:POUR DOMINIQUE: J'ai l'impression qu'on parle à la fois de tau et de ;)t1/2, et ça m'égarre… Ne pourrait-on pas laisser ;)t1/2 de côté pour l'instant, s'il-te-plaît? J'essaie de comprendre en quoi Image ça fait tau, la durée de vie moyenne d'un noyeau…


Dans ce cas, tau désigne la valeur de t pour laquelle R = R0/2 ou N=N0/2 ... En partant de cette définition, le reste est trivial!

Bastien L.
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par Bastien L. » 22 Mai 2009, 22:28

Bonsoir!


Désolé pour l'erreur de langue, malgré ton message que j'avais lu…

Est-ce que je me trompe? J'ai l'impression notemment dans ton dernier message que tu fais une égalité entre la durée de vie moyenne d'un noyeau et la durée au bout de laquelle le nombre de noyeaux encore en activité est divisé par deux ?

Dominique Lefebvre
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par Dominique Lefebvre » 22 Mai 2009, 23:08

Bastien L. a écrit:Bonsoir!


Désolé pour l'erreur de langue, malgré ton message que j'avais lu…

Est-ce que je me trompe? J'ai l'impression notemment dans ton dernier message que tu fais une égalité entre la durée de vie moyenne d'un noyeau et la durée au bout de laquelle le nombre de noyeaux encore en activité est divisé par deux ?

Encoe une fois "noyau" et pas "noyeau"
Et quand au reste, bah, je n'insiste plus, je ne vois pas ce que tu veux dire ni où tu veux aller... Reviens aux définitions.

Bastien L.
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par Bastien L. » 23 Mai 2009, 14:02

Excuse-moi, Dominique, je suis perdu dans ces calculs!

Je voudrais juste comprendre d'où vient le fait que 1/lambda donne la durée de vie moyenne des noyaux, à partir de la définition de lambda dans la loi de Soddy et de ce qui en découle… Et je ne comprends pas pourquoi tu évoques la durée de demi-vie…

Dominique Lefebvre
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par Dominique Lefebvre » 23 Mai 2009, 16:33

Bastien L. a écrit:Excuse-moi, Dominique, je suis perdu dans ces calculs!

Je voudrais juste comprendre d'où vient le fait que 1/lambda donne la durée de vie moyenne des noyaux, à partir de la définition de lambda dans la loi de Soddy et de ce qui en découle… Et je ne comprends pas pourquoi tu évoques la durée de demi-vie…

Pour trouver ta constante de temps tau, ce que tu appelles la durée de vie moyenne, il te suffit de calculer le point d'intersection avec l'axe Ot de la tangente en N0 de l'équation N0*exp(-lambda*t) : qu'est-ce que cela te donne?
EN passant, ça ne te rappelle pas d'autres constantes de temps?

Bastien L.
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par Bastien L. » 23 Mai 2009, 16:42

Oui, c'est marqué sur le cours, mais je ne vois pas de démonstration. Comme quoi 1/lambda égale tau, etc.…

Dominique Lefebvre
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par Dominique Lefebvre » 23 Mai 2009, 17:58

Bastien L. a écrit:Oui, c'est marqué sur le cours, mais je ne vois pas de démonstration. Comme quoi 1/lambda égale tau, etc.…

Mais quel genre de démonstration attends-tu? tau est par définition l'intersection de la tangente avec l'asymptote horizontale. Il se trouve que la pente de la tangente est -1/lambda, ce qui découle de la loi exponentielle...

Bastien L.
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par Bastien L. » 23 Mai 2009, 18:35

Dominique, tu insinue que j'ai du passer totalement à côté d'un argument suffisant, et je pense que tu as raison, mais je ne vois pas encore lequel... :-S

"tau est par définition l'intersection de la tangente avec l'asymptote horizontale" En quoi est-ce un argument suffisant au fait que tau est la durée de vie moyenne des atomes?

Dominique Lefebvre
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par Dominique Lefebvre » 23 Mai 2009, 18:46

Bastien L. a écrit:Dominique, tu insinue que j'ai du passer totalement à côté d'un argument suffisant, et je pense que tu as raison, mais je ne vois pas encore lequel... :-S

"tau est par définition l'intersection de la tangente avec l'asymptote horizontale" En quoi est-ce un argument suffisant au fait que tau est la durée de vie moyenne des atomes?

Non, je n'insinue rien de ce genre... Ce n'est pas un argument, c'est une définition. On appelle "durée de vie moyenne des atomes" cette constante de temps...
Et d'ailleurs c'est une donnée qui est peu usitée. On utilse pratiquement la constante de désintégration qui caractérise l'espèce et la durée de demi-vie, qui caractérise l'espèce et la population.

PS : c'est d'ailleurs une définition qui vient des probabilistes, pas des physiciens.... On la retrouve par exemple en ingénierie des systèmes dans les notions de fiabilité et disponibilité...

Bastien L.
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par Bastien L. » 23 Mai 2009, 19:27

Mais il doit bien y avoir une raison à ce qu'on attribue à cette tangente la signification physique en question. Comme tu le dis, ce doit être purement du calcul probabiliste…

Dominique Lefebvre
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par Dominique Lefebvre » 23 Mai 2009, 22:18

Bastien L. a écrit:Mais il doit bien y avoir une raison à ce qu'on attribue à cette tangente la signification physique en question. Comme tu le dis, ce doit être purement du calcul probabiliste…

Puisque tu as l'air de t'intéresser aux aspects probabilistes de la chose, regarde ceci : [url="http://webetab.ac-bordeaux.fr/Pedagogie/Physique/telechargement/phyter/radioactivite/bouyrie/D%E9croissance%20radioactiveP.pdf"]http://webetab.ac-bordeaux.fr/Pedagogie/Physique/telechargement/phyter/radioactivite/bouyrie/D%E9croissance%20radioactiveP.pdf[/url]
En particulier, ce qui concerne l'espérance mathématique attachée à notre petite fonction....

Bastien L.
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par Bastien L. » 27 Mai 2009, 18:13

Bonjour à tous, et en particulier à Dominique,


Grâce à ton aide et à celle d'autres personnes j'ai pu reconstituer la démonstration que je cherchais. Je la poste ici pour qu'éventuellement d'autres puissent en profiter et aussi pour que tu puisses voir ce que j'attendais précisément (puisque j'ai un peu été pénible… ^^).

…

Ah, mais au dernier moment je me rends compte que je ne sais pas comment mettre de P.D.F. ou de j-peg ici… Je n'ai pas le temps de tout retaper en LaTex… Comment dois-je faire? Merci…

 

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