Electrostatique, champ total créé par une sphère et une char

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chelsea-asm
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Electrostatique, champ total créé par une sphère et une char

Messagepar chelsea-asm » 10 Avr 2013, 12:17

Bonjour,

J'étudie le sujet de l'ENAC 2010, et je ne suis pas d'accord avec l'un des résultats donnés par le corrigé (question 4 ici)...

Soit une sphère de rayon de centre , de charge volumique uniforme possédant une coquille sphérique de même centre et même rayon, d'épaisseur négligeable et de charge surfacique uniforme

1. Avec la méthode de la surface de Gauss on trouve facilement l'expression de E(M), pour un point M, situé à l'intérieur de la sphère :
(où est la distance

2. Si le point M est à l'extérieur de la sphère :


3. On place maintenant, sur l'axe une charge q, en un point à une distance de , telle que la distribution totale soit neutre.

On a donc

4.Quelle est l'expression du champ total sur l'axe en un point de côte telle que ?

Je raisonne à nouveau avec la surface de Gauss, mais d'après la question précédente j'ai

Donc je dirai .

D'après le corrigé,


.

Pourriez-vous m'expliquer ce résultat ?? Pourtant en quoi la méthode avec Gauss serait fausse et inutilisable ici ?

Merci pour vos explications !

Cordialement.



Skullkid
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Messagepar Skullkid » 10 Avr 2013, 16:49

Bonjour, le champ électrique est une grandeur vectorielle. Même si en l'occurence tu t'intéresses surtout à son amplitude, les calculs doivent se faire sur la grandeur vectorielle pour éviter certains écueils.

Le théorème de Gauss te dit que si tu as une surface fermée S orientée vers l'extérieur qui entoure une charge Q, alors . Autrement dit ce théorème ne te donnera jamais qu'une information globale sur le champ (la valeur de son flux à travers une surface donnée). Pour obtenir une information locale (comme la valeur du champ en un point) il faut d'autres hypothèses. Par exemple pour les questions 1 et 2, tu utilises la symétrie sphérique du système, ce qui te permet de dire que si S est la sphère de rayon r et de centre O1, alors . Mais une fois que tu rajoutes la charge supplémentaire à l'extérieur de la sphère, tu perds des symétries et le flux du champ électrique total à travers la sphère n'a plus d'expression simple. Le théorème de Gauss est toujours valide, mais il te dit juste que le flux du champ à travers la sphère est nul, pas que le champ est uniformément nul sur la sphère.

Pour répondre à la question 4, utilise le fait que le champ (vecteur) engendré par l'union de deux sources est la somme des champs (vecteurs) engendrés par chacune des deux sources prise séparément.

Pour parler un peu physique, ce genre de distribution de charges (deux charges opposées proches l'une de l'autre) s'appelle un dipôle. Quand on se place loin d'un dipôle, on ressent un champ électrique "faible" (qui décroît en 1/r^3 au lieu du 1/r^2 caractéristique des charges isolées) mais non nul. Le dipôle a beau avoir une charge totale nulle, il n'est pas "parfaitement" neutre.

Le Chat
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Messagepar Le Chat » 13 Aoû 2013, 23:27

Bonjour,

Je fais remonter ce post parce que j'étudie le meme problème, mais en utilisant une autre méthode. Plutôt que de procéder par intégrale de surface, est-il possible de sommer les elements dE comme suit?

dE = (k dq)/(r^2)

E = int(dE) = int((k dq)/(r^2)) ...etc

J'arrive à 6 kq/r^2 au lieu de kq/r^2

merci pour votre aide

cordialement vôtre

Skullkid
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Messagepar Skullkid » 14 Aoû 2013, 00:11

Bonsoir, peux-tu détailler tes calculs ?

Le Chat
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Messagepar Le Chat » 14 Aoû 2013, 00:17

Skullkid a écrit:Bonsoir, peux-tu détailler tes calculs ?


oui tout de suite :lol3:

Le Chat
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Messagepar Le Chat » 14 Aoû 2013, 00:29




Skullkid
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Messagepar Skullkid » 14 Aoû 2013, 14:08

Je suppose que alpha est la densité volumique de charges (et que donc dans ton énoncé tu as juste une boule chargée, sans charge surfacique supplémentaire). Il y a beaucoup d'erreurs :

1 - Une boule c'est tridimensionnel, donc le champ infinitésimal pertinent c'est celui créé par un petit volume de ta boule, autrement dit tu fais déjà fausse route quand tu n'écris qu'une intégrale de -r à r. Ta première égalité serait exacte si ton dE était le champ créé une tranche de ta distribution de charges et que le r était le rayon de la boule, mais évidemment ce dE-là a une expression qui n'est pas immédiate...

2 - On ne sait pas ce que veut dire ton r. Comme tu écris dE = k*dq/r^2, on imagine que c'est la distance entre le centre de la boule et le point où tu calcules le champ, mais dans ce cas rien ne justifie d'intégrer de -r à r, puisque r n'a rien à voir avec les propriétés de la distribution de charges.

3 - Tu écris dq = 4pi*alpha*r^2*dr donc ce coup-ci tu considères r comme une variable d'intégration, le "rayon courant" de la coquille sphérique infiniment fine que tu considères. Tu utilises donc la même lettre pour nommer 3 objets différents (rayon de la boule, variable d'intégration et distance entre le point où tu calcules le champ et le centre de la boule).

4 - Ta dernière égalité est fausse, l'intégrale de dr entre -r et r égale 2r, donc tes calculs devraient te donner 8k*pi*alpha*r (qui est faux puisque ce n'est pas le bon calcul que tu fais, mais au moins c'est homogène).

Il faut commencer par bien poser le problème. On appelle O le centre de la boule chargée, R son rayon, M le point en lequel on veut calculer le champ, qui est à une distance r de O. Comme dit, le problème est 3D et le champ électrique est un vecteur, on considère donc un petit volume d^3P centré autour d'un point P et on appelle dE le vecteur champ électrique au point M dû à d^3P. Comme d^3P peut être vu comme une charge ponctuelle de charge alpha*d^3P, on peut écrire :



C'est donc ce truc-là que tu dois intégrer sur tous les points P de ta distribution de charge. Si tu choisis d'intégrer en coordonnées sphériques (r',theta,phi), tu tombes sur



où l'intégration se fait pour r' de 0 à R, theta de 0 à pi et phi de 0 à 2pi, et x et y sont deux vecteurs unitaires fixes qui forment une base orthonormée avec . Des arguments de parité impliquent que la contribution des termes en x et y est nulle une fois l'intégration faite, donc il te reste à calculer



ce qui n'est pas nécessairement une partie de plaisir... D'où l'utilisation du thérorème de Gauss pour se simplifier la vie.

Luc
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Messagepar Luc » 22 Aoû 2013, 03:09

Salut,

juste une question si on n'a pas envie d'intégrer le truc moche : dans le cas particulier qui nous intéresse r >> a (et donc aussi r >> R), on ne peut pas considérer qu'on se ramène au champ d'un dipôle sur son axe?

Skullkid
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Messagepar Skullkid » 22 Aoû 2013, 13:22

Pour la fin de l'exercice de chelsea-asm (l'intégrale moche de mon post précédent c'est juste pour la boule uniformément chargée, si on s'interdit le théorème de Gauss), oui on peut utiliser l'expression du champ engendré par un dipôle, mais à mon avis ce n'est pas l'esprit de l'exercice : le dipôle n'est pas introduit en tant que tel, sa géométrie est très simple, on ne demande le champ que sur son axe et les questions précédentes font calculer les champs qu'il y a à sommer pour trouver la réponse.

 

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