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Posted by: damien

Bonjour, j'ai des difficultés pour quelques questions. Ce serait sympa si vous pouviez jeter un oeil pour éventuellement m'aider. Merci.

c)Montrer que pour tout entier naturel non nul n, on a: n! >= e(n/e)^n.
Pour qu'on ait cela, il faut que n! - e(n/e)^n >= 0.
Alors on peut introduire la fonction f(x) = n! - e(n/e)^n
Et ensuite, comment montrer que dans cette soustraction, c'est n! qui est plus grand? (enfin c'est comme cela que je le vois )

ex8:
On considère la suite u définie par u0 réel compris strictement entre 0 et 1 et la relation: Vn E N, u_n+1 = (1-rac(1-un)) / 3.
a) Montrer que pour tout entier naturel n le terme un est bien défini et 0 < u_n < 1.
Ok

b) Montrer que pour tout entier naturel n, on a:
u_n+1 =< (1 / 3)(u_n).
Votre aide est la bienvenue, je vous concède que cette question n'est pas d'un extrême difficulté, et pourtant je demande de l'aide.

Voila. merci.

Posted by: LN1

Bonjour,

Pour le 2), le plus simple est de calculer ${u_n\over 3 } - u_{n+1}$ et montrer que cette différece est positive.

Indication: si A appartient à [0 ; 1] alors $\sqrt A \geq A$

Pour le premier exercice:j'aurais tendance à passer au ln, mais tu devrais nous fournir les question a) et b)

Bon courage

Posted by: damien

Bonjour,

Pour le 2), le plus simple est de calculer ${u_n\over 3 } - u_{n+1}$ et montrer que cette différece est positive.
Indication: si A appartient à [0 ; 1] alors $\sqrt A \geq A$

Ca nous donne donc: un/3 - un+1 > 0
(un - 1 - rac.( 1 - un)) / 3 > 0
La fonction n'admet que des valeurs positives donc c'est positif.
Mais je sais pas quoi dire d'autre

Pour le premier exercice:j'aurais tendance à passer au ln, mais tu devrais nous fournir les question a) et b)

a) montrer que pour tout réel x positif ou nul, on a: ln(1+x) =< x.
b) on définit la suite (un)n>=1 par: un = 1/n! (n/e)^n. Montrer que (un)n>=1 est monotone. (au passage je n'ai pas réussi cette question mais je me disais que c'était trop facile pour demander de l'aide)

Bon courage
Merci bien

Posted by: LN1

Pour le 2) ton argument est incompréhensible : c'est positif car "La fonction n'admet que des valeurs positives " ????
De quelle fonction parles-tu ? de plus tu as fait une erreur de signe
tu as $u_n/3 - u_{n + 1} = (1/3)[u_n - 1 + \sqrt{1 - u_n}]$
Utilise mon indication en posant $A = 1 - u_n$
vérifie que A appartient bien à [0 ; 1], compare alors A et $\sqrt A$ puis conclus sur le signe de $u_n/3 - u_{n + 1}$

pour le 1.
tout s'éclaire : pour démontrer que $(u_n)$ est monotone, compare $u_{n+1}/u_n$ et 1 (c'est possible car tu as une suite dont tous les termes sont positifs)

Montre que $u_{n+1}/u_n =\frac{1}{e} (1 + \frac{1}{n})^n$
Grâce à la question a), prouve que $ln( u_{n+1}/u_n) < 0$ tu pourras alors comparer $u_{n+1}/u_n$ et 1 et conclure que la suite $(u_n )$ est décroissante

Ensuite la question c) devient facile: si la suite $u_n$ est décroissante alors $u_n < u_1$ , calcule $u_1$ , tu en déduiras que $U_n < 1$ et en multipliant par n! tu obtiendras l'inégalité cherchée.

Posted by: damien

merci bien.
Je sais pas si je l'aurais fait sans toi

.

A bientôt et bonne continuation.