1) calculer A² et vérifier que A² - 3A + 2I = 0 où I est la matrice identité .
A² =
-2 3 -3
-9 10 -9
-3 3 -2
Après calculs ( que je ne peux pas mettre ici car les matrices c'est la galère pour les écrire ) , A² - 3A + 2I fait bien 0 .
2) je mettrai cette question en dernier ;) .
3)Calculer A^-1 par la méthode de gauss .
Soit X(x,y,z) et Y(a,b,c) 2 éléments de M3,1 (R) .
On a donc le système :
-x + y = c
-3x + 4y - 3z = b
y - z = a
je trouve z = (a-b+3c)/2 , y = 3a/2 - b/2 + 3c , x = 3a/2 -b/2 + 2c et maintenant pour avoir la matrice je fais comment ?
merci de votre aide .
Posted by: georgess
donc la matrice que je trouve est :
3/2 -1/2 2
3/2 -1/2 3
1/2 -1/2 3/2
qu'en pensez vous ?
merci
Posted by: Babe
je me suis gouré en plus lol
Posted by: georgess
quel est le rapport avec ce que j'ai écrit tu m'expliques ?
Posted by: georgess
la matrice que j'ai trouvé est elle juste ?
Posted by: Baltha
Pour vérifier calcul A*A^-1, tu dois trouver l'identité normalement.
Posted by: georgess
ben en faisant la multiplication on voit clairement que ça donne pas la matrice identité pourtant j'ai pas fait d'erreur dans mon système de gauss à ce que je sache ...
Posted by: georgess
ah ben si ça donne bien la matrice identité donc j'avais bon :) , maintenant je reviens à la question 2) qui est :
en déduire que A est inversible et que A^-1 = 3/2I -1/2A
est ce que c'est sous entendu avec les déterminants ?
merci
Posted by: Baltha
A^-1=
Posted by: Baltha
Ah j'ai fait une erreur?
Posted by: Narhm
Tu as réussi à trouver un polynome annulateur P(x) = x²-3x+2 puisque
P(A) = 0 , et si tu regardes bien , tu peux factoriser et faire resortir une matrice tq tu aies AB=Identité, d'ou A est inversible et tu peux facilement le calculer apres ca. ( égale à B ).
Bye
Posted by: Baltha
Je suis persuadé que ta matrice A^-1 est fausse!
Posted by: georgess
baltha , vérifie mon système , il est juste , donc ma matrice est bonne et pourtant elle me donne pas la matrice identité .
Posted by: Baltha
Il doit y avoir une erreur dans ton système, je vais vérifié sa!
ok mais as tu trouvé une erreur dans mon systeme car moi non
Posted by: Cestmoikmille
Citation:
Posté par georgess
On a donc le système :
Systeme 1
-x + y = c
-3x + 4y - 3z = b
y - z = a
Systeme 2
je trouve z = (a-b+3c)/2 , y = 3a/2 - b/2 + 3c , x = 3a/2 -b/2 + 2c
si tu recalcules en remplacant dans ton 2eme systeme les a, b, c par la définition que tu en as dans ton 1er systeme (tu me suis ?), on voit que z est juste, mais y ne l'est pas (tu devrais avoir y = (3a - b + 3c)/2 ) et x non plus (j'ai pas calculé ce que ca devrait être, mais reprends tes calculs ton erreur est surement bidon ^^, comme toute erreur de calcul !)
edit : Ceci dit, je n'ai jamais inversé une matrice comme ca, la méthode de Gauss que j'utilise se fait directement sur les matrices, ca revient au même sauf que c'est moins lourd (puisqu'il n'y a pas toutes les variables) Inverse par la méthode de Gauss
edit : je sais c moche mais je savais pas comment faire autrement
Posted by: georgess
ok alors dernière question , c'est la 2) du 1er message que j'avais zappé :
En déduire que A est inversible et que A^-1 = 3/2 I - 1/2 A .
VOIR LE 1ER MESSAGE .
Comment en voyant la matrice de départ A et ayant calculer A² et sachant que A² - 3A + 2I = 0 , déduire que A est inversible ?
merci
Posted by: Cestmoikmille
pour déduire que A est inversible, je sais pas, faut que tu regardes les théoremes et propriétés que t'as le droit d'utiliser moi j'ai oublié plein de trucs :)
peut etre simplement calculer le determinant ?
par contre c'est assez simple de montrer
A² - 3A + 2I = 0 => A^-1 = 3/2 I - 1/2 A
A² - 3A = -2I
A² - 3A = -2(A*A^-1)
etc...
Posted by: georgess
comment tu continues ta simplification ?
Posted by: georgess
A^-1 = A²/-2A -3A/2A ce qui donne 3/2I -1/2A , vu que I vaut 1 ou A/A ?
Posted by: Cestmoikmille
I = element neutre des matrices
oui c'est bien comme ca qu'il faut simplifier !!
Posted by: georgess
néanmoins je ne comprends pas pq après avoir calculer A² et vérifier que A²-3A+2I = 0 on peut déduire que la matrice est inversible , j'ai aucun théorème qui parle de ce genre de chose...
Posted by: Cestmoikmille
Trouvé sur wikipedia : "une matrice carrée A est inversible <=> il existe un polynôme annulateur de A dont 0 n'est pas racine"
Ca ne me dit rien, mais c'est probablement vrai (un peu la flemme de vérifier)... Donc tu dois pouvoir utiliser ca pour ta démonstration... (si tu l'as dans ton cours c'est mieux !!) C'est ici !!
Au pire si c'est dans un DM et que tu as besoin de rédiger proprement, tu peux toujours rajouter le calcul du déterminant pour dire qu'elle est bien inversible (afin de pouvoir répondre à la deuxième partie de la question), même si ton théorème est faux (mais ca semble bien etre celui ci à utiliser vu la tête de la question 1)
