Petite règle et petit compas

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Posted by: Imod

On connait tous les sacro-saintes règles des constructions à la règle et au compas , la règle et le compas permettant de relier des points quelconques ou de reporter des longueurs quelconques : une vision un peu idéale de la géométrie .

Peut-on relier deux points d'un plan distants de 100 mètres avec une règle non graduée et un compas ( ceux de la trousse de l'écolier ) .

Imod


Posted by: raito123

bah je vois pas d'autres solution que de me rechauffer mtn car les 100métre vont etre fatiguant lol
Citation:
les sacro-saintes règles des constructions à la règle et au compas

devellope stp


Posted by: Imod

Disons que la règle est utilisée uniquement pour tracer une droite passant par deux points connus et le compas pour reporter une longueur entre entre deux points connus . Un point peut-être construit comme intersection de droites ou cercles déjà tracés , ce point pouvant être utilisé par la suite pour de nouvelles constructions .

Imod


Posted by: raito123

ah oui j'ai saisi


Posted by: alben

Bonne journée
Si j'ai bien compris, cela revient à rectifier en un nombre fini d'étapes, une ligne brisée avec un compas et une règle, tous deux de longueur (ou d'écartement) limités.


Posted by: bruce.ml

Il semble qu'il soit équivalent de relier deux points de 50 cm !


Posted by: bruce.ml

notons A et B nos deux points à relier, notons d la longueur de notre rêgle. Traçons une demi droite partant de A en "visant" B, de sorte que la distance de B à cette droite soit plus petite que d scrictement. Plaçons un point C sur cette droite, à distance moins de d de B, et plus proche de A que B ne l'est ; et un point D toujours sur la droite à distance moins de d de C. O, sait construire le parlallélogramme CDBE, et la demi droite [BE). Par suite on sait construire le parallélogramme ACBF. On a que le milieu de [AB] est le milieu du milieu de [AC] et du milieu de [FB]. Si on a le milieu de [AB], nous avons un procédé recursif pour construire notre segment à base de milieux successifs. Et pour obtenir ce dernier, il suffit d'avoir les milieux de deux segments : [AC] et [FB] qui sont de longueur plus petite que celle de [AB]. En procédant récursivement, et grace à cet algorithme en complexité doublement exponentielle, on arrivera à tracer le segment [AB] !

PS : à la fin de la construction, après avoir épuisé les réserves mondiales de carbone, on risque de ne plus rien voir puisque le sol sera noir xD


Posted by: Imod

Citation:
Posté par alben
Bonne journée
Si j'ai bien compris, cela revient à rectifier en un nombre fini d'étapes, une ligne brisée avec un compas et une règle, tous deux de longueur (ou d'écartement) limités.

On peut en effet résumer comme ça si on a expliqué comment relier les deux points par une ligne brisée . On suppose que le géomètre est particulièrement maladroit et n'a pas du tout le compas dans l'oeil : il peut très bien , visant un point , partir carrément à l'opposé

Imod


Posted by: bruce.ml

Oui bon ben c'est facile il trace deux droites, et à coup de bissectrices sucessives il finira par arriver suffisemment proche de B !


Posted by: alben

Mais peut-on considérer que l'on peut tracer une droite (par glissement de notre courte règle) ?


Posted by: bruce.ml

Pour prolonger le segment [AB] tu places deux points sur le segment près du bord, puis tu relies ces deux points ! la réponse est donc oui :)


Posted by: Imod

Citation:
Posté par bruce.ml
notons A et B nos deux points à relier, notons d la longueur de notre règle. Traçons une demi droite partant de A en "visant" B, de sorte que la distance de B à cette droite soit plus petite que d strictement.

On ne peut pas être sûr que la nouvelle distance est inférieure à d ( en supposant par exemple que le géomètre ne voit pas B ) .

Imod


Posted by: bruce.ml

on regarde dans quelle section d'angle est le point B, et on procède récursivement jusqu'à ce que la droite intersecte le cercle de centre B et de rayon d !

Au passage on voit ici les limites ce la construction à la rêgle et au compas : il est bien plus facile de faire passer une droite près d'un point qui est à 100 mêtres ( bien que ça ne soit pas légal ) que de faire la bissectrice d'un angle de 0.00001°, ce qu'on va être amménés à faire :)


Posted by: raito123

pourquoi on essai pas de mettre sur un papier deux points a et b tel que
ab=10cm
on les relie puis on met a coté echel 1cm represente 1m


Posted by: Imod

Citation:
Posté par bruce.ml
on regarde dans quelle section d'angle est le point B, et on procède récursivement jusqu'à ce que la droite intersecte le cercle de centre B et de rayon d !

La construction proposée n'utilise que les intruments dans leur domaine de validité donc pas question de viser le point B même grosso modo . On pourrait bien imaginer un géomètre super compétent avec ses deux instruments dans un carré de 5cm de côté mais complètement aveugle et inefficace au delà !

Imod


Posted by: bruce.ml

MAIS RHO ! j'ai expliqué mon algorithme, je réexplique en un seul post comment trouver une droite qui intersecte le cercle de centre B et de rayon d :

1) on trace 2 droites passant par A.

2) Si une droite coupe le cercle en deux points distincts c'est fini, sinon

3) on se met sur B, et on revient en marchant sur A, sans passer à travers une quelconque droite.

4) Quand on arrive dans le coin, on trace la bissectrice des deux droites formant le coin, et on va à l'étape 2.

Cet algorithme termine car d > 0


EDIT : et au passage on peut définir C comme étant le premier point d'intersection de la droite et de notre cercle.


Posted by: Imod

Citation:
Posté par bruce.ml
Comment trouver une droite qui intersecte le cercle de centre B et de rayon d :

1) on trace 2 droites passant par A.

2) Si une droite coupe le cercle en deux points distincts c'est fini, sinon

3) on se met sur B, et on revient en marchant sur A, sans passer à travers une quelconque droite.

4) Quand on arrive dans le coin, on trace la bissectrice des deux droites formant le coin, et on va à l'étape 2.

Cet algorithme termine car d > 0

J'ai toujours été un peu dur de la comprenette , 3) et 4) je ne comprends pas

Imod


Posted by: Imod

Citation:
Posté par alben
Mais peut-on considérer que l'on peut tracer une droite (par glissement de notre courte règle) ?

Un message qui m'avais échappé , oui on peut !!!

Imod


Posted by: bruce.ml

Citation:
Posté par Imod
J'ai toujours été un peu dur de la comprenette , 3) et 4) je ne comprends pas

Imod


3) on regarde dans quelle section d'angle est le point B

4) on trace la bissectrice des droites formant cette section d'angle (la bissectrice interieure bien sûr) et goto 2.


Posted by: Imod

Citation:
Posté par bruce.ml
3) on regarde dans quelle section d'angle est le point B

On n'en sait tout simplement rien

Imod


Posted by: bruce.ml

Bien sûr que si on le sait, comme je le disais dans mon précedent post, on se met sur B, et on va vers A sans couper de droite. Quand on arrive en A on est dans la même section d'angle que B.


Posted by: Imod

Pourrais-tu détailler ta stratégie sur la figure ci-dessous ?

http://img362.imageshack.us/img362/5480/aetbyh4.jpg

Imod


Posted by: bruce.ml

Premièrement je reviens sur une consession que j'avais faite : on SAIT dans quelle section est B, on voit B, et on voit les droites qu'on a tracé, sinon comment peut on espérer joindre deux points qu'on ne voit pas. Au pire on met des gros drapeaux dessus. Dans les rêgles de construction à la rêgle et au compas, on sais où sont les points.

Sinon dans ce cas particulier, B est dans la grosse section d'angle, je trace donc la bissectrice qui part de A et qui va "en bas à droite". B est à présent dans la section de droite, je trace donc la bissectrice qui va vers "en haut à droite". La troisième étape devrait arriver près de B.


Posted by: alben

J'ai du mal à comprendre les conditions.
Si à partir d'une droite, on ne peut déterminer de quel coté se situe B, je ne vois pas comment on peut y arriver.
On peut toujours tracer deux droites à partir de A faisant un angle droit (ce qui fait 4 demi-droites) sur 150m environ de chaque coté. N'importe quelle droite issue de B rencontrera l'une de ces demi droites, ce qui permet de positionner B ?


Posted by: Imod

Citation:
Posté par alben
J'ai du mal à comprendre les conditions . Si à partir d'une droite, on ne peut déterminer de quel coté se situe B, je ne vois pas comment on peut y arriver.

En fait on peut très bien y arriver mais on peut quand même dire que l'on sait de quel côté d'une droite se situe le point B . La question n'a jamais été posée aussi clairement et il est difficile de répondre "oui" à un message qui contient une vérité parmi de nombreuses contre-vérités . J'ajouterai qu'un message de raito123 trop vite oublié ne manque pas de pertinence .

Imod


Posted by: bruce.ml

Non mais c'est pas grave tu sais lmod si j'ai trouvé un autre moyen que le tien pour résoudre ce problème.


Citation:
Posté par lmod
La question n'a jamais été posée aussi clairement

Citation:
Posté par lmod
Citation:
Posté par bruce.ml
3) on regarde dans quelle section d'angle est le point B

On n'en sait tout simplement rien

Imod


?????????????????????????????????????????????????? ?
1+1 = 2. Youpie si un point est dans une section d'angle alors il est d'un certain coté des deux droites qui composent cet angle ! Ca sent la médaille Fields ça ...


Posted by: Imod

Une petite mise au point sans animosité

Citation:
Posté par bruce.ml
Non mais c'est pas grave tu sais lmod si j'ai trouvé un autre moyen que le tien pour résoudre ce problème.

Une autre solution que la mienne serait un vrai plaisir j'ai depuis longtemps passé l'âge de telles mesquineries !

Citation:
Posté par bruce.ml
Youpie si un point est dans une section d'angle alors il est d'un certain coté des deux droites qui composent cet angle ! Ca sent la médaille Fields ça ...

Il semblait d'après tes explications que tu enfermais d'emblée le point B dans un angle de sommet A en "visant B" ce qui n'est pas tout à fait la même chose que de dire "B est de tel côté d'une droite" , d'où le schéma proposé et les explications demandées . Bon disons que nous sommes d'accord : on peut tracer une droite (D) passant par A telle que d(B,(D))<d .

Citation:
Posté par bruce.ml
Plaçons un point C sur cette droite, à distance moins de d de B, et plus proche de A que B ne l'est ; et un point D toujours sur la droite à distance moins de d de C. O, sait construire le parlallélogramme CDBE, et la demi droite [BE). Par suite on sait construire le parallélogramme ACBF. On a que le milieu de [AB] est le milieu du milieu de [AC] et du milieu de [FB]. Si on a le milieu de [AB], nous avons un procédé recursif pour construire notre segment à base de milieux successifs.

Jusqu'ici pas de problème .

Citation:
Posté par bruce.ml
Et pour obtenir ce dernier, il suffit d'avoir les milieux de deux segments : [AC] et [FB] qui sont de longueur plus petite que celle de [AB]. En procédant récursivement, et grace à cet algorithme en complexité doublement exponentielle, on arrivera à tracer le segment [AB] !

Je ne vois pas comment fonctionne la récursivité les milieux de [AC] et [BF] ne semblant pas constructibles à priori . En attendant ta réponse , tu me permettras de suspendre momentanément l'attribution de la médaille Fields

Imod


Posted by: bruce.ml

Nous y voilà ! c'est quand même mieux quand tu me dis où tu penses que ça ne va pas La récursivité fonctionne car AC = BF < AB

Mon premier objectif était de construire le milieu de [AB], j'ai ramené le problème à la construction du milieu d'un segment plus petit. Au bout d'un moment le segement sera assez petit pour qu'on puisse le tracer et construire son milieu grace à une médiatrice par exemple :)


Posted by: Imod

Citation:
Posté par bruce.ml
La récursivité fonctionne car AC = BF < AB . Mon premier objectif était de construire le milieu de [AB], j'ai ramené le problème à la construction du milieu d'un segment plus petit. Au bout d'un moment le segement sera assez petit pour qu'on puisse le tracer et construire son milieu grace à une médiatrice par exemple :)

Désolé , je suis bouché ( je ne fais pas de l'obstruction ) . Au départ tu vises le point B que vises-tu après

Imod


Posted by: bruce.ml

Bon je recommence l'algorithme avec tous les points, cet algorithme cherche à tracer le milieu de deux points.
d est la distance dans laquelle on peut travailler avec la rêgle et le compas de façon normale ( mettons 30 cm )

0) Soient A et B les deux points à relier. si d(A,B) < d, tracer le segment [A,B], puis son milieu grace à sa médiatrice, et terminer.

1) Tracer deux droites passant par A et le cercle \mathcal{C} de centre B et de rayon d/2.

2) Si une droite passe par deux points distincs de \mathcal{C} , nomons les C et D, C étant le plus proche de A, et aller en 4)

3) Tracer la bissectrice interieure de l'angle contenant le point B, aller en 2)

4) Le point E est tel que CDBE est un parallélogramme, tracer la droite [BE). Elle coupe le cercle de centre A et de rayon d en deux points, F et G, F étant le plus proche de B.

5) Construire récursivement les milieux H et I de [AC] et [FB]

6) tracer le segement [HI] et construire son milieu grace à une mediatrice : c'est le milieu de [AB] et terminer.

( Si on peut prouver que FC < AB, on peut simplement appeller recursivement le milieu de [FC] à la place des étapes 5 et 6 )

Après ça on construit récursivement tous les milieux des milieux des milieux ... jusqu'à arriver à des longueurs traçables avec notre rêgle :)


Posted by: Imod

Citation:
Posté par bruce.ml
5) Construire récursivement les milieux H et I de [AC] et [FB]

Inutile de noyer le poisson , le problème est là ( je garde toujours la médaille sous le coude )

Imod


Posted by: bruce.ml

Citation:
Posté par Imod
Inutile de noyer le poisson , le problème est là ( je garde toujours la médaille sous le coude )

Imod


Au temps pour moi ! il faut ajouter une petite condition supplémentaire : à l'étape deux, si CD \lt \varepsilon alors reprendre à l'étape 3). où epsilon est une valeur fixée dès le départ comprise entre 0 et d/2. De cette manière, la distance entre les points dont on souhaite tracer le milieu diminue au moins d'un certain \zeta fixé à chaque étape, on finira donc par arriver au traçage du milieu de deux points distants de moins de d, et donc l'algorithme termine.

PS : le premier algorithme était probabiliste et terminait avec une probabilité de 1 :p.


Posted by: Patastronch

Je croyais que la regle etait non graduée moi.


Posted by: bruce.ml

Je regarde avec le compas ! je trace une longueur étalon au départ, et ensuite je vérifie grace au compas :)


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par bruce.ml
Je regarde avec le compas ! je trace une longueur étalon au départ, et ensuite je vérifie grace au compas :)


Et pour e cercle de rayon d/2 ? bon tu me diras que le d/2 précis c'est pas important, faut juste etre inférieur a d/2 pour le rayon du cercle de départ si j'ai bien comrpis.


Posted by: bruce.ml

d/2 est facilement constructible avec une simple médiatrice de toute façon


Posted by: alben

Bravo Bruce tu m'as convaincu.
Mais ça fait beaucoup d'étapes. On doit pouvoir en éliminer quelques unes et par là améliorer la précision.


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par bruce.ml
d/2 est facilement constructible avec une simple médiatrice de toute façon

Ben je vois pas comment tu mesure d. Si tu me dit qu'il faut prendre les extrémités de ta regles je te previens tout de suite que je me gausse ! On sait tous que les bords d'une regle sont arrondies (ou usés rapidement si ils étaient pas arrondies) ! Mais de toute facon n'importe quelle longueur témoin inférieur à d fait l'affaire.


Posted by: bruce.ml

Citation:
Posté par Patastronch
Ben je vois pas comment tu mesure d. Si tu me dit qu'il faut prendre les extrémités de ta regles je te previens tout de suite que je me gausse ! On sait tous que les bords d'une regle sont arrondies (ou usés rapidement si ils étaient pas arrondies) ! Mais de toute facon n'importe quelle longueur témoin inférieur à d fait l'affaire.


voilà n'importe quel d > 0 convient du moment qu'il est plus petit que la rêgle.


Posted by: Imod

En effet la construction aboutit un peu laborieusement mais sûrement . La précision risque de ne pas être au rendez-vous mais l'exercice est plus théorique que pratique !
Une autre façon de faire qui me semble plus simple . On quadrille une partie finie du plan contenant A et B avec des carrés suffisamment petits pour permettre de mesurer l'écart entre deux points ( au compas ) ou pour relier deux points ( à la règle ) , dans deux carrés voisins et de façon à ce que A soit un noeud du quadrillage . On place alors un point dans chaque carré ne contenant pas B et par ces points on trace une ligne brisée reliant A à B . La trajectoire complète est contenue dans un carré nXn , on la reproduit à l'echelle 1/n dans le premier carré partant de A et en reliant A au dernier point de la trajectoire réduite , on obtient ( théoriquement ) la direction de B .

Imod

PS : bruce.ml , pour la médaille Fields , je verrai ce que je peux faire mais je ne peux rien te certifier


Posted by: bruce.ml

Citation:
Posté par Imod
En effet la construction aboutit un peu laborieusement mais sûrement . La précision risque de ne pas être au rendez-vous mais l'exercice est plus théorique que pratique !
Une autre façon de faire qui me semble plus simple . On quadrille une partie finie du plan contenant A et B avec des carrés suffisamment petits pour permettre de mesurer l'écart entre deux points ( au compas ) ou pour relier deux points ( à la règle ) , dans deux carrés voisins et de façon à ce que A soit un noeud du quadrillage . On place alors un point dans chaque carré ne contenant pas B et par ces points on trace une ligne brisée reliant A à B . La trajectoire complète est contenue dans un carré nXn , on la reproduit à l'echelle 1/n dans le premier carré partant de A et en reliant A au dernier point de la trajectoire réduite , on obtient ( théoriquement ) la direction de B .

Imod


Je sais pas si ça va être très précis des petits bouts de segment de 1µm de long xD

Citation:
Posté par lmod


PS : bruce.ml , pour la médaille Fields , je verrai ce que je peux faire mais je ne peux rien te certifier


C'est gentil


Posted by: Patastronch

Moi je m'opose a la réponse de Bruce au passage!
Rien ne dit que le milieu du milieu .... du milieu de l'angle de départ tombera pile sur notre point un jour. Cela n'est vrai que dans un system informatique ou il y a troncage a partir d'une certaine valeur! Il suffit de prendre le cas théorique ou le point sera situé sur une droite formant un angle de valeur transcendante par rapport à l'une des droite de ta portion de départ.










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