petite question

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Posted by: Babe

bonjour

pour resourdre la solution homogene d'une equation differentielle du seconde ordre, je fais l'equation carac. et trouve delta=-3

3$ \textrm r_1=\frac {-1}{2}+i\frac {\sqr {3}}{2} et r_2 son conjugue

y_1=e^{r_1t} et y_2=e^{r_2t}

le prof arrive à y_1=e^{\frac {-1}{2}}cos(\frac {\sqr {3}}{2}t)
et y_2=e^{\frac {-1}{2}}sin(\frac {\sqr {3}}{2}t)

comment passe t-il au cosinus et sinus ? (je me doute qu'il ya du e^ix=cos x +i sin x mais je ne trouve pas pareil )

merci d'avance


Posted by: allomomo

Salut,


Si \Delta <0 et r_0=a+ib, r_1=\overline{r_0} sont solutions de l'équation caractéristique.
Alors les solutions des l'équation homogène sont de la forme :
y_h (x)= e^{ax}\Big(C_1 \cos(bx)+C_2 sin(bx)\Big)


Posted by: Babe

non mais en faite ma question c'est comment passe ton de
y_1=e^{(\frac {-1}{2}-\frac {\sqr {3}}{2}i)t} à
y_1=e^{\frac {-1}{2}t}cos(\frac {\sqr {3}}{2}t)


Posted by: allomomo

Il faut trouver les constantes.
Tu n'oublie pas un 't' ?


Posted by: Babe

ouai il y a un t, edit


Posted by: allomomo

Si on prend C_1 =C_2 = 1, on a ce que tu cherches.
Mais ces constantes dépendent des conditions initiales.


Posted by: Babe

mon prof cherche y1 et y2 de cette maniere sans constante, car ce sont les base de l'espace vectorielle des solutions homogenes
mais apres dans la solution general il rajoute les constantes










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