Bonjour à tous,
pourquoi (1²+2²+...+n²)=[n(n+1)(2n+1)]/6 ?
Posted by: Rain'
Parce que c'est comme ça.
Par contre si tu veux le démontrer c'est facile par récurrence.
Posted by: Fanfan
je l'ai trouvé dans mon cours, c'est donc une "formule", elle n'est déduite d'une autre formule ?
Posted by: Joker62
Non c'est pas déduit
ça se démontre par récurrence comme dit plus haut
Et ça se fait en terminal.
Posted by: Rain'
Je crois qu'on peut la trouver directement en utilisant le triangle de Pascal
Posted by: Joker62
J'aimerai bien savoir comment :(
Posted by: Nightmare
Bonjour
On peut démontrer que pour tout n : d'où le résultat.
Posted by: fahr451
bonjour
pour p et n fixés
(p parmi p) +( p parmi p+1) + (p parmi p+2) +...+(p parmi n) =
(p+1 parmi n+1)
démo par télescopage en utilisant
( p parmi k) = -(p+1 parmi k) +(p+1 parmi k+1)
appliqué à p = 1 on trouve la somme des entiers
à p = 2 carrés
à p =3 des cubes (les deux autres sommes ayant été calculées avant)
etc
Posted by: serge75
Autre preuve constructive : chercher un polynôme de degré inférieur ou égal à 3 tel que P(X+1)-P(X)=X². (ça te fait un système de 4 éq pour 4 inconnues - les coeff du polynôme - à résoudre ; en fait une des équations saute et tu n'as plus que trois équations > le coefficient constant est alors libre et tu prends par exemple 0).
Tu écris alors ta somme des k² comme une somme télescopique avec ce polynôme P et tu trouve qu'elle fait donc P(n+1)-P(0).
NB : pour généraliser la méthode et montrer systématiquement qu'un tel polynôme existe il faut passer par l'algèbre linéaire
d'où le résultat.