petite question de somme

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Posted by: pouik

Bonsoir,
J'essaye sans succès de montrer que si u est un endomorphisme d'un espace vectoriel E vérifiant la relation u^2 - 3u + 2Id_E = 0 alors :
E = Ker (u - Id_E) \oplus Ker(u - 2Id_E)

j'arrive à démontrer que l'intersection est réduite au singleton nul mais je n'arrive pas à montrer la somme (le coup de la somme des dimensions ne marchant pas ici car E n'est pas supposé de dimension finie).

Merci d'avance pour votre aide.


Posted by: Skullkid

Bonsoir, pour montrer que 2 sev F et G sont supplémentaires dans E, c'est souvent pratique de procéder par analyse-synthèse en montrant que tout élément de E se décompose de façon unique en somme d'un élément de F et un élément de G.

Ici, ça marche. Soit x\in E, suppose qu'il existe (x_1,x_2)\in\ker(u-id)\times\ker(u-2id) tel que x=x_1+x_2, et cherche les valeurs nécessaires de x_1 et x_2, ce qui te donnera l'unicité (sous réserve d'existence).

Ensuite, vérifie que x_1 et x_2 sont bien solutions du problème (en particulier qu'ils appartiennent bien au bon ensemble), et tu auras l'existence.


Posted by: pouik

et comment fais-je pour trouver x_1 et x_2. Je suis un peu perdu !


Posted by: Skullkid

Tu profites de leurs propriétés : x_1\in\ker(u-id) ça veut dire que u(x_1)=x_1. Et x_2\in\ker(u-2id) ça veut dire que u(x_2)=2x_2. Applique donc u à x et tu obtiendras l'expression de x_2 en fonction de x, puis celle de x_1 en fonction de x.


Posted by: fahr451

tu peux habilement écrire


x = [u(x) -x ] - [u(x)-2x]


Posted by: pouik

u(x) = u(x_1) + u(x_2) = x_1 + 2x_2
et x = x_1 + x_2
donc : x_2 = u(x) - x
et : x_1 = 2x - u(x)

est-ce correct ?

mais ce que je ne comprends pas c'est où utilise t on la relation donnée dans l'ennoncé ?


Posted by: Skullkid

Là tu as prouvé l'unicité, sous réserve d'existence. Maintenant, faut montrer que x_1\in\ker(u-id) et x_2\in\ker(u-2id), et tu y arriveras grâce à la relation de l'énoncé.

Ou sinon avec la méthode de fahr, tu exhibes x_1 et x_2 (alors pas besoin de les chercher, faut juste montrer qu'ils conviennent), et comme t'as déjà montré que l'intersection des deux noyaux était nulle, tu peux conclure. Mais bon, fahr est habile, et c'est pas mon cas ^^


Posted by: pouik

Citation:
Posté par Skullkid
Là tu as prouvé l'unicité, sous réserve d'existence. Maintenant, faut montrer que x_1\in\ker(u-id) et x_2\in\ker(u-2id), et tu y arriveras grâce à la relation de l'énoncé.


(u-id)(x_1) = 2u(x) - u^2(x) - 2x + u(x) = -(u^2 - 3u + 2id_E)(x)=0
donc x_1 \in Ker(u - id_E)

(u - 2id_E)(x_2) = u^2(x) - u(x) -2u(x) + 2x = 0
donc x_2 _in Ker(u - 2id_E)

donc c'est bon.

Sinon pourriez-vous m'expliquer l'astuce de fahr451 que je ne comprends pas bien.










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