Mathématiques - Petite question sur matrice de passage

Petite question sur matrice de passage
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Posted by: pouik

Bonsoir,
Cela fait déjà plusieurs mois (oui oui je blague pas, plusieurs mois !!) que j'essaye de résoudre cette toue petite question mais j'ai beau regarder la correction, je ne comprends. Saurez-vous m'expliquer ? Merci d'avance.

Soit A la matrice 2x2 [(2,-5);(1,-2)].
Montrer que A est semblable à M(0,1) = [(0,-1);(1,0)] et donner une matrice P de M_2(R) à coefficients entiers et de déterminant égal à 1 telle que M=P^-1AP.

Posted by: alavacommejetepousse

bonsoir

en écrivant que A est la matrice de f dans la base (e1,e2)

il faut trouver une base (e'1,e'2) telle que M soit la matrice de f dans cette base

Posted by: pouik

Oui, en fait ca j'y arrive :
il faut que $f(e'_1)=e'_2$ et $f(e'_2)=-e'_1$ .
Mais le problème c'est qu'une fois écrit ca je suis complètement perdu. JE ne vois absolument pas quoi faire !!

Posted by: alavacommejetepousse

essaye avec e'1 = e1 et e'2 = f(e1)

Posted by: pouik

mais que dois je faire avec ceci ? Et comment savez vous que $e'_1=e_1$ ?

Posted by: alavacommejetepousse

ça marche ou pas ?

Posted by: pouik

Non désolé je n'y arrive pas du tout, je ne comprends pas ce que je dois faire à partir de votre message de 19h18. Désolé....

Posted by: alavacommejetepousse

le polynôme caractéristique est

X^2 +1

donc f^2 = -id

f n'a pas de valeur propre réelle

pour tout x non nul

(x,f(x)) est libre

donc en prenant x quelconque non nul
en posant e'1 = x , e'2 = f(x)

(e'1,e'2) est une base

de plus f(e'2) = f^2 (e'1) = -e'1

et la matrice de f dans cette base est bien M
et M = P^^(-1) AP
l'énonce impose une contrainte supplémentaire
on veut det P = 1 donc on ne peut choisir x n'importe comment

sans faire une recherche systématique on "voit" que x = e1 convient

Posted by: pouik

Ce n'est pas du fait que f^2 = -Id qu'on en déduit le polynôme caractéristique ?

"le polynôme caractéristique est

X^2 +1

donc f^2 = -id"

Sinon je comprends votre raisonnement mais je ne vois toujours pas comment obtenir ma matrice P. Vraiment désolé !

Posted by: ffpower

Tu en est a quel nv sur les matrices?t as vu les poly cara?Cayley Hamilton?de la diagonalisation?

Posted by: alavacommejetepousse

en taille 2

X^2 -tr(A) X +det(A) est le polynôme caractéristique

il se détermine sans effort

Posted by: pouik

Citation:

Posté par ffpower

Tu en est a quel nv sur les matrices?t as vu les poly cara?Cayley Hamilton?de la diagonalisation?

oui oui jai vu tout ca

Mais je m'excuse encore mais j'ai beau chercher je ne vois pas comment déterminer P avec tout ce que vous m'avez donner....

Posted by: abcd22

Bonsoir,
Au lieu d’utiliser des théorèmes compliqués, on peut faire les calculs « bêtement » comme si on ne connaissait pas le polynôme caractéristique etc. :
on pose $e'_1 = x e_1 + y e_2,\ e'_2 = x' e_1 + y' e_2$ .
Par définition, les colonnes de la matrice de passage contiennent les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base dans l’ancienne, ce sera donc avec mes notations $\begin{pmatrix} x & x' \\ y & y' \end{pmatrix}$ .
On écrit les conditions imposées :
1) $f(e'_1) = e'_2$
2) $f(e'_2) = - e'_1$
3) $\det P = 1$
4) $x,\ x',\ y,\ y'$ entiers.
Les deux premières conditions donnent 4 équations à 4 inconnues $x,\ x',\ y,\ y'$ , on résout, on trouve un ensemble de solutions qui dépendent de deux paramètres, on écrit la troisième condition en fonction de ces paramètres, et on choisit une solution entière (inutile de résoudre complètement l’équation) de l’équation obtenue pour déterminer les 4 inconnues.

Posted by: pouik

Bonjour,
Je dois etre un cas désespéré, car je ne vois pas comment obtenir mes quatre équations.

Citation:

Posté par abcd22

Les deux premières conditions donnent 4 équations à 4 inconnues $x,\ x',\ y,\ y'$ , on résout, on trouve un ensemble de solutions qui dépendent de deux paramètres, on écrit la troisième condition en fonction de ces paramètres, et on choisit une solution entière (inutile de résoudre complètement l’équation) de l’équation obtenue pour déterminer les 4 inconnues.

Posted by: abcd22

La première condition s’écrit $\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ , par définition de la multiplication de matrices par un vecteur, c'est la même chose que :
$\left{ 2x - 5y = x' \\ x + 2 y = y'$
et on fait pareil avec la deuxième condition.