Petite question sur les Classes

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Posted by: Hyp

(Re)Bonsoir ,

J'avais remarqué que ma prof d'analyse passait très vite sur les polynômes (de IR[X]) avec la mention qu'ils sont de C infinie, quelque soit leur degré.

Ceci dit, est ce que la fonction associée à un polynôme de IR [X] de degré n (donc fini), et donc de dérivée (n+1)ème nulle est de C infinie tout simplement car l'application nulle est continue sur tout IR (voire de C infinie ?) et donc conforme à la notion de classe ?

Si oui (forcément), il y'aurait donc "assez peu" de fonctions de classe finie (à l'instar de x ---> 1/x² sin (1/x) qui déjà est vraiment tirée par les cheveux).

Un petit éclaircissement serait bien plaisant, merci !


Posted by: SimonB

Bonsoir,

Je ne saisis pas tout, mais sur :

Citation:
Posté par Hyp
Si oui (forcément), il y'aurait donc "assez peu" de fonctions de classe finie (à l'instar de x ---> 1/x² sin (1/x) qui déjà est vraiment tirée par les cheveux).


, je dirais qu'en mathématiques, quand on commence à mettre des guillemets c'est que ce qu'on raconte n'est pas très sûr. Qu'entends-tu par "assez peu" ?

On peut montrer que l'espace des fonctions continues partout dérivables nulle part définies sur [0,1] (en particulier, qui n'y sont pas \mathcal{C}^\infty) est dense dans l'espace des fonctions continues définies sur [0,1] pour la norme infinie. Je dirais donc qu'il y a "beaucoup plus" de fonctions de classe nulle, donc finie, que d'autres fonctions...


Posted by: Hyp

C'est sûr que ce que je raconte n'est pas sûr, autrement je n'aurais pas demandé d'éclaircissements

Bon pour ne pas lâcher le bout du fil, et pour reformuler, est ce qu'une fonction qui à partir d'un certain rang N voit sa dérivée Nième coïncider avec l'application nulle est nécessairement de C infinie ?

Merci


Posted by: ffpower

bah le fait que ce soit dense ne renseigne pas vraiment sur la "proportion"(les rationnels aussi sont dense).Et puis il suffit d avoir une seule fonction qui n est pas C^infini,tu lui rajoutes n importe quelle fonction C^infini et t obtiens une fonction qui n est pas C^infini,donc c est sur que c est dense mais ca renseigne pas vraiment..


Posted by: Hyp

Oui d'accord, mais si déjà on se ramène à l'exemple de la densité IR/IQ dans IR, c'est que les fonctions de classe strictement finie sont aussi irréguliers que les irrationnels, non ? (Pour dire qu'il est aussi pointilleux de trouver une fonction de Classe infinie dans l'espace des fonctions définies sur un intervalle de IR (en fermant les yeux sur celles dont la discontinuité découle d'une seule fonction, comme la somme indiquée par ffpower) qu'un irrationnel dans tout IR).


Posted by: ffpower

Ouais,on peut dire que c est l equivalant des irrationnels,et je suis dac que probablement les fonctions irrégulieres sont les plus nombreuses,en un certain sens a préciser(en général c toujours les cas pathologiques qui n apparaissent pas naturellement qui sont les plus nombreux).Sinon si la dérivée n-ieme d une fonction elle est evidemment C^infini(ce qui signifie que l on peut la dériver autant de fois que l on veut,et c evident puisque une fois qu on a dériver suffisammment pour obtenir la fonction nulle,ben apres on peut continuer a dériver autant que l on veut(et on obtient toujours la fonction nulle










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