Mathématiques - Une petite énigme

Une petite énigme
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: thsajuna

Je souhaite poser sur le sol une échelle de 5m contre un mur qui est perpendiculaire au sol. Le mur à une hauteur >5m et le sol est infiniment plat !
Sur le sol, contre le mur, il y a une boite carré (une cube en faite) de 1m de côté.
Les extrêmités de mon échelle doivent toucher le mur et le sol.
L'échelle doit aussi passer juste au dessus de la boite en la touchant.
L'échelle, le mur et le sol forme un triangle et à l'intérieur de ce triangle on trouve la boite, comme indiqué sur la figure ci-après.

Qui peut me dire à quelle distance du mur je dois poser la base de l'échelle sur le sol ???

http://www.bellapix.com/user/global...ee1fe735b99.jpg

Posted by: reav

Bon ça fait 30 minutes que je suis sur le pb et j'ai un peu de mal :confused:
J'ai qd même réussi à trouver une valeur approchée de la distance qui est 1.223 (cas où l'échelle est la plus verticale) mais mon raisonnement est vraiment trituré...! P't'être que j'ai faux mais cette valeur est cohérente, mais c'est peut etre un hasard :( :confused:

Posted by: thsajuna

Eh bien bravo pour ton courage l'enoncé est simple mais la solution n'est si évidente que ça. Ta solution approche de l'une des 2 solutions effectivement, mais tu comprendras qu'il me faut une valeur exacte. ;)

Posted by: Alpha

Salut,

En utilisant Pythagore et Thalès, et en appelant l la hauteur, et la distance au mur étant égale à 1+x,

on a les équations

5²-(1+x)² = l²

(l-1)/l = 1/(1+x)

J'ai essayé rapidement de résoudre le système, et je suis tombé sur une équation en x pas très sympathique, avec des termes en x^3 et x², mais j'ai fait ça vite, car je dois partir...

Je m'y remettrai plus tard.

;)

Posted by: reav

Ben en fait je pourrais peut-etre calculer la solution exacte mais je mis suis pas vraiment mis.. Je dois résoudre une équation du quatrième degrés :

-a^4+2a^3 +24a²-51a+25=0, où a est la distance séparant le mur du pied de l'échelle (première situation)
Une des quatres solutions de cette équation correspond à la bonne valeur, j'ai juste lu cette valeur sur ma calculette ;)

Posted by: thsajuna

On y arrive doucement :
=================
avec x position de l'échelle sur le sol
avec y position de l'échelle sur le mur
Le système est donc :

x²+y²=5² => équation cercle
y=x/(x-1) => hyperbole
En traçant on trouve 4 solutions aux intersections.

=> ce qui donne bien équation du 4è degré comme l'indique reav mais avec une petite erreur c'est pour ça que je me permet de préciser (ça évitera qu'on s'embarque dans tes calculs faux dès le début !):

-x^4 +2x^3 +23x^2 -50x +25 = 0

Reste à résoudre...

Posted by: Triderou

je trouve environ 1.26m si c'est le resultat je veux bien donner ma méthode de résolution

Posted by: thsajuna

Nous sommes tous attentifs à cette 1ère solution.... :rolleyes:

Posted by: 12h33

j'ai posé x distance echelle à boite et y distance echelle à boite.
voila mon équation en x:
$x^4+2x^3-23x^2+2x+1$

solutions positives:
(méthode ferrari )

$\x_1=(sqrt{26}-1-\sqrt{23-{2}sqrt{26}})/2=0,26...$

$\x_2=(sqrt{26}-1+\sqrt{23-{2}sqrt{26}})/2=3,84...$

le bas de l'échelle est donc à:
$1+\x_1$ ou $1+\x_2$
du mur

sauf erreur

ps: impossible d'écrire la fraction avec tex!!! il ne voulait rien entendre!

Posted by: thsajuna

Hé voila qui est trouvé !!!
:D BRAVO monsieur, il faut être motivé pour aller au bout d'un ferrari !

Posted by: Triderou

très rapide, très simple, pas d'équation du 4e dégré à résoudre, pas de methode de ferrari (que je connais même pas)

l'echelle est à la verticale, posons x+1 la largeur du triangle rectangle, la distance que nous cherchons, donc x la largeur du petit triangle
y+1 la hauteur du triangle rectangle, donc y la hauteur du grand triangle.

Pythagore : (x+1)² + (y+1)² = 25
x²+2x+y²+2y+2 = 25 (1)
laissons d'abord (1) de côté et passons à autre chose
Thalès : y/(y+1)=1/(x+1)
y(x+1)=y+1
xy+y=y+1
xy=1 (2)
revenons maintenant à (1) et remplaçons 1 par xy et ajoutons 1
alors x²+2x+y²+2y+2xy+1 = 26 or x²+2x+y²+2y+2xy+1 = (x+y+1)²

donc (x+y+1)²=26 x+y+1=V(26) V() symbolise racine carrée

y>x donc y=V(26)-1-x, de plus d'après (2) y=1/x

ainsi, 1/x=V(26)-1-x
on obtient l'équation du 2nd degré x²+(1-V(26))x+1=0

une fois résolu on obtient

x=0.5(V(26)-1-V((1-V(26))²-4)) et y=0.5(V(26)-1+V((1-V(26))²-4))

la distance cherchée est donc d = x+1 = 1+0.5(V(26)-1-V((1-V(26))²-4))

soit environ x = 0.26 d = 1.26 y = 3.84

En tout cas j'ai vérifié et d est bien une solution de votre équation du 4e dégré

..........Je reste près d'une cabine téléphonique.......

Posted by: Alpha

J'avais dès le début obtenu la même équation que 12H33, mais je ne connaissais pas la méthode ferrari pour la résoudre.

Quelqu'un peut-il m'expliquer quelle est cette méthode?

Merci

;)

Posted by: 12h33

par pure flemme je te renvoie à (par exemple):

http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/equation6.html

bonne chance... :)

Posted by: Alpha

Ben dis-donc, ça a l'air costaud, la méthode Ferrari!

Personnellement, je trouve que c'est beaucoup plus simple de prendre l'échelle et d'aller la mettre contre le mur de la façon indiquée! :D

Je vois d'ici la scène : d'un côté, un peintre, de l'autre, un matheux. Le peintre prend son échelle et va tout de suite la mettre comme il faut. Le matheux fait des calculs pendant une demi-heure, avec la méthode de Ferrari ,etc.., et enfin, il va poser l'échelle! :D

Pour une méthode Ferrari, c'est pas très rapide, d'ailleurs... :D

;)

Posted by: 12h33

c'est clair!
:d

Posted by: 12h33

bon je vais la faire pour la forme:

équation à résoudre:
$x^4+2x^3-23x+2x+1$

que l'on ramène par translation (x=X-1/2) à
$P(X)=X^4-\frac{49}{2}X^2+26X-\frac{95}{16}$

on va écrire ce poly sous la forme:
$P(x)=(x^2+a)^2-R(x)$

$R(x)=(x^2+a)^2-(x^4+2x^3-23x+2x+1)$
$R(x)=(2a+\frac{49}{2})x^2-26x+a^2-\frac{95}{16}$

équation du 2nd degré de discriminant (appelé résolvante) l'équation du 3ème degré:

$\ -8a^3-98a^2- \frac{95}{2}a+ \frac{753}{8}$

vu qu'on a une liberté sur a, prenons a de telle sorte que le discriminent soit nul.
dans ce cas R(x) aura 1 racine double et se mettra sous la forme:
$\alpha.(x+\beta)^2$
vous voyez l'astuce!

une solution de la résolvante est $a=\frac{3}{4}$

donc (on y arrive!):
$R(x)=\frac{13}{2}(2x-1)^2$

DONC!
$P(x)=(x^2+\frac{3}{4})^2-\frac{13}{2}(2x-1)^2$
$P(x)=(x^2-\sqrt{26}x+\frac{3}{4}+\sqrt {\frac{13}{2}})(x^2+\sqrt{26}x+\frac{3}{4}-\sqrt {\frac{13}{2}})$

et je vous laisse résoudre ces 2 petites équations du 2nd degré pour la forme!

et hop-ouf!

ps: normalement pas d'erreurs mais???

Posted by: thsajuna

Merci de vous êtes penché sur ce pb, la méthode de ferrari c'étais ma solution, je vais regarder l'autre solution proposée que je ne connaissais pas.

Une petit problème simple mais pas si simple que ça finalement !
Merci à tous :D

Posted by: scelerat

Citation:

Posté par thsajuna

Merci de vous êtes penché sur ce pb, la méthode de ferrari c'étais ma solution, je vais regarder l'autre solution proposée que je ne connaissais pas.

Une petit problème simple mais pas si simple que ça finalement !
Merci à tous :D

On m'a toujours dit de ne pas prendre la Ferrari juste pour aller chercher les
croissants.
Dans un polynome palindromique, si a est solution, 1/a l'est aussi,
donc on factorise l'equation
x^4+2x^3-23x^2+2x+1 en
(x^2-ux+1)(x^2-vx+1), puis on resout a+1/a = u et b+1/b=v, et
les solutions sont a, 1/a, b, 1/b
u+v = -2, uv+2 = -23, u et v sont solutions de x^2+2x-25=0
donc -1+/-racine(26), seule la racine positive est interessante,
a^2-(racine(26)-1)a +1=0
Tiens, c'est justement la solution de Triderou !

Posted by: cesar

bonsoir,
pour ceux qui ne n'aime pas rouler en Ferrari, voici une methode pour resoudre l'équation du 4eme degre.
nous avons
x^2+y^2=5
et
y = x/(x-1)
il faut d'abord remarquer que si x=A et y= B est une solution, alors
x= B et Y=A est aussi une solution. Autrement dit les valeurs de Y sont
aussi une solution en X

ensuite on resout de la maniere suivante :
on definit la suite xn et yn de la maniere suivante :
xn/(xn-1) = yn+1
et
racine carre(25-(yn+1)^2) = xn+1
en prenant

x0=2 ( c'est un point sur l'axe de symetrie du systeme, donc il est entre les racines..)

on obtient :
x3= 4,838414636
x4=4,838499631
x5=4,838501134

pour une valeur exacte de

x= 4,838501161

et

y5=1,260518457

pour

y= 1,260518353

si l'on a pas le talent de notre ami qui enfile sa cape, cela peut être utile d'y penser...
je crois qu'avec celle là on aura fait le tour de toutes les methodes de cet exo...je n'en vois vraiment pas d'autre que celles qui ont été evoquées par les intervenants successifs..