Petite dérivée

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Posted by: zelda007

Bonjour, dans le cadre d'un devoir, j'ai une petite dérivée à calculer et je bloque :

Soit Bn = Somme(k=0..n)(k parmi n).bk.X^(n-k)

Je dois montrer que la dérivée de Bn vaut : n.B(n-1)

La dérivée d'une somme est la somme des dérivées donc :

(Bn)' = Somme(k=0..n)(k parmi n).bk.(n-k)X^(n-k-1) Mais ensuite je ne vois pas comment arriver au résultat...

Merci


Posted by: prepahec1

Essaye de passer par le binome de newton


Posted by: zelda007

Mais ou vois tu un binome de Newton ?


Posted by: fatal_error

Bonjour,

N'a-t-on pas B_n=(b_k+X)^n? (le binome de newton comme recommande prepahec1)
Si tel est le cas, B_n'=n(b_k+X)^{n-1}=nB_{n-1}


Posted by: zelda007

Bah non...

Car (bk + X)^n = somme(k parmi n).(bk)^k.X^(n-k)

Il manque le "puissance k" sur le bk... ou alors je deviens fou


Posted by: fatal_error

Hum désolé.
bon ben mettons alors qu'on ait tout simplement 1^k

le bk est produit tu peux le sortir de la somme et tu trouves
Bn=b_k(1+X)^n
Apres tu sauras trouver je pense.


Posted by: zelda007

non on ne peut pas sortir le bk de la somme car il dépens de k !


Posted by: zelda007

Personne n'a d'idée ?


Posted by: fatal_error

Oki, petit idée par la!

Calculons dérivée de Bn:
B_n=\sum_{k=0}^n C_n^k b_k X^{n-k}
=>
(B_n(X))'=\sum_{k=0}^{n-1} C_n^k b_k (n-k) X^{n-k-1}
(le terme constant est atteint pour k=n, la dérivée le fait péter)
or (n-k)C_n^k =(n-k) \frac{n!}{(k!)(n-k)!} =\frac{n!}{(k!)(n-k-1)!}

Calculons nB_{n-1}
nB_{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1} n C_{n-1}^k b_k X^{n-k-1}
Or nC_{n-1}^k = n \frac{(n-1)!}{(k!)(n-1-k)!} = \frac{n!}{(k!)(n-k-1)!}

Apres on trouve bien (B_n(x))'=nB_{n-1}


Posted by: zelda007

Merci j'avais fini par trouver ^^


Posted by: zelda007

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