Mathématiques - petit exo

petit exo
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Posted by: rugby09

Déterminer tous les entiers n, strictement supérieurs à $\frac{2^n+1}{n^2}$ , tels que n soit entier.

Posted by: Imod

Citation:

Posté par rugby09

Déterminer tous les entiers n, strictement supérieurs à $\frac{2^n+1}{n^2}$ , tels que soit entier.

Y'a comme qui dirait quelques petites erreurs de frappe .

Imod

Posted by: lapras

Salut,
c'est un exo d'olympiades ?
En tout cas ca en a pas l'air Lol

Posted by: ThSQ

C'est probablement : trouver les n > 1 tq $n^2$ divise $2^n+1$

( réponse : y'en a pas )

Posted by: rugby09

Citation:

Posté par ThSQ

C'est probablement : trouver les n > 1 tq $n^2$ divise $2^n+1$

( réponse : y'en a pas )

oui c'est ca!

Posted by: ThSQ

Tiens, deux développements à cet exo (faut bien s'occuper en cours ;)) :

Montrer qu'il existe une infinité de n tel que $n | 2^n + 1$ (ce qui rend plus étonnant la réponse à l'exo de rugby09).

Montrer qu'il existe un k > 1 constant et une infinité de n tel que $k*n | 2^n + 1$ (facile qd on a fait le 1)).

Posted by: lapras

Je pense que
2^(3^n) = -1 [3^n]
pour tout n
Je vais essayer de le démontrer demain ou plus tard
Ca fait longtemps l'arithmétique pour moi !

Posted by: ThSQ

Citation:

Posté par lapras

2^(3^n) = -1 [3^n]

Posted by: lapras

J'en ai une démonstrayion toute moche par récurrence
on vérifie que
2^(3^n) = -1 [3^n ]
pour n = 1 , 2 , 3...
On suppose que c'est vrai au rang n
alors
2^(3^n) + 1 = k*3^n
(2^(3^n) + 1)^3 = k^3 * 3^(3n) = 3^(n+1) * (k^3 * 3^(2n-1))
en développant
2^(3^(n+1)) + 3*(2^(3^n))^2 + 3*2^(3^n) + 1 = 3^(n+1) * (k^3 * 3^(2n-1))
donc
2^(3^(n+1)) + 1 = 3^(n+1)*(k^3*3^(2n-1)) - 3*(2^(3^n))^2 - 3*2^(3^n)) = 3^(n+1)*(k^3*3^(2n-1)) - 3*2^(3^n)*( 2^(3^n) + 1)
or 2^(3^n) + 1 = k*3^n
donc
2^(3^(n+1)) + 1 = 3^(n+1) * (k^3*3^(n+1) - k*2^(3^n))
donc
2^(3^(n+1)) = -1 [3^(n+1]]
CQFD

Bon c'est assez moche (j'ai carrément la flemme d'utiliser LaTex désolé...)
Je vais chercher une démonstration plus "arithmétique" plus tard.

Posted by: aviateurpilot

salut lapras cava,

tu sais que $n^{\varphi(h)}\equiv 1[h]$ klk soit $n$ permier avec $h$
alors $2^{\varphi(3^n)}\equiv 1[3^n]$
et $\varphi(3^n)=2.3^{n-1}$
et donc $2^{3^{n}}\equiv 2^{3^{n-1}}[3^{n}]$
avec $2^{3^{n-1}}=\pm 1$ car $(2^{3^{n-1}})^2=1$
or $2^{3^{n-1}}=- 1[3]$ donne $2^{3^{n-1}}\neq 1[3^n]$ *d'ou le resultat

Posted by: aviateurpilot

pour ton probleme ayman voila ma solution,

Citation:

Posté par **

$m^{a}\equiv 1[p]$ <=> $ord_p(m)|a$

j'utliserai cela,

soit $p$ le plus petit premier divisant $n$
$n$ est impair (evident)
soit a tel que $p^{a}|n$ et $p^{a+1}\not|n$
on a $2^{2n}\equiv 1[p^{2a}]$ et $2^{n}\equiv -1[p^{2a}]$
donc $h|2n$ et $h\not|n$ ( $h=ord_{p^{2a}}(2)$ )
donc $h\ =2p^bq$ avec q un diviseur de n , pgcd(p,q)=1 et $b\le a$
et on a $2p^{b}q|\varphi(p^{2a})=p^{2a-1}(p-1)$
d'ou $q|p-1$ et $q|n$ ==> $q=1$ car q<plus petit diviseur premier de n.
donc $h=2p^{b}$ et $2^{2p^b}\equiv 1[p^{2a}]\equiv 1[p]$
d'ou $4=1[p]$ ==> $p=3$
et $2^{2.3^b}\equiv 1[3^{2a}]$ maintenant il suffi de montrer que cela est absured sachant que $b\le a$

Posted by: lapras

Salut
qu'est ce que le "ord" dans l'énoncé ?

Posted by: ThSQ

Citation:

Posté par rugby09

Déterminer tous les entiers n, strictement supérieurs à $\frac{2^n+1}{n^2}$ , tels que n soit entier.

Ma solution pour l'exo d'origine (pour faire plaisir à raito123

Citation:

$n^2 | 2^n + 1 \Leftright n \in \{ 1, 3 \}$

p le plus petit premier divisant n.

On a donc $2^n = -1 [p]$ et $2^{2n} = 1 [p]$ . Donc l'ordre de 2 (le plus petit entier > 0 tq $2^i = 1 [p]$ ) divise 2n et il divise toujours p-1 (Fermat). C'est de la théorie des groupes "cachée".
=> L'ordre de 2 est donc 1 ou 2. Dans les deux cas ça donne p = 3.

Ordre de 2 modulo $3^{2k}$ est un diviseur de $2*3^{2k-1}$ (Euler), un raisonnement similaire donne que 3 divise n mais que 3² ne divise pas n.

On prend le nombre premier (éventuel) divisant n=3N suivant. Exactement avec les mêmes arguments on montre que c'est 7.

La contradiction est là : $2^{3*7*m} + 1$ n'est pas divisible par 7² (le reste est toujours 2) !

On remonte : n=3 ou 1