UN petit exo sur les endomorphismes

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Posted by: pouik

Bonjour,
La reprise est un peu dur avec l'algèbre... Voilà j'ai quelques difficultés sur l'exercice suivant, donc si vous pouviez m'aider, ce serait formidable. Merci d'avance.

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, soit u un endomorphisme de E. Pour tout entier naturel k, on note n_k = dim(Ker u^k).
1. Montrer que la suite (n_k) est croissante, et qu'elle est stationnaire à partir du rang p, où
p = min \{ k \in N | n_{k+1} = n_k \}
2. Montrer que E = Ker u^p \oplus Im u^p.


Posted by: fahr451

bonjour

la croissance c 'est facile non ?


Posted by: yos

Bonjour.
L'inclusion Ker(u^k)\subset Ker(u^{k+1}) est évidente : prends x à gauche et applique lui u^{k+1}.


Posted by: pouik

I faut montrer que l'on a :
Ker u^n C Ker u^{n+1}

Soit x \in Ker u^n
On a donc :
u^n (x) = 0
d'où : u \circ u^n (x) = u(0)
or u endomorphisme donc u est linéaire d'où :
u^{n+1} (x) = 0
soit x \in Ker u^{n+1}

donc Ker u^n C Ker u^{n+1}

ce qui se traduit au niveau des dimensions par :
dim (Ker u^n) \le dim (Ker u^{n+1}),
soit n_n \le n_{n+1}

donc (n_n) est croissante,
non ??


Posted by: fahr451

oui

maintenant montre que la suite ne peut pas être strictement croissante jusqu'au rang n+1 (n = dim E )


Posted by: yos

c'est bon. Elle est stationnaire car majorée donc convergente (et comme c'est une suite d'entiers).


Posted by: pouik

Citation:
Posté par yos
c'est bon. Elle est stationnaire car majorée donc convergente (et comme c'est une suite d'entiers).


désolé mais je ne comprends pas bien pourquoi elle est majorée !!


Posted by: SimonB

T'auras du mal si ton e.v. est de dimension finie à faire grandir des dimensions de noyaux au-delà de la dimension dudit.


Posted by: pouik

Auriez vous une petite idée pour la 2. ??


Posted by: kazeriahm

salut

si x est dans l'intersection de Ker u^p et Im u^p,

alors x=u^p(t) (car x est dans Im u^p)

donc u^p(x)=0=u^2p(t)

donc t est dans Ker u^2p =Ker u^2p-1 =...=Ker u^p

donc x=0.

Donc l'intersection = {0}

On conclue par le th du rang


Posted by: pouik

Merci mais je ne comprends pas très bien ce passage :

Citation:
Posté par kazeriahm
salut

si x est dans l'intersection de Ker u^p et Im u^p,

alors x=u^p(t) (car x est dans Im u^p)

donc u^p(x)=0=u^2p(t)

donc t est dans Ker u^2p =Ker u^2p-1 =...=Ker u^p

donc x=0.

Donc l'intersection = {0}

On conclue par le th du rang



Posted by: kazeriahm

on sait qu'à partir du rang p, la suite (n_k) est stationnaire.

C'est à dire, pour tout k>=p, n_k=n_p.

En particulier, pour k=2p, on a n_2p=n_p.

Or comme ker u^p C ker u^2p donc keru^p = ker u^2p

?!










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