Petit problème

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Posted by: reistounette

Bonjour
j'ai un petit problème de math à résoudre:
Nous sommes sur un jeu d'echecs:
Si j'ai ma tour en A1 et que je veux la deplacer en H8 (faisons comme s'il n'y avai pas d'auter pièce) Combien y a-t-il de possibiliter? Comment l'avez vous trouvé? Avec un calcul? Si oui pouvez-vous m'en faire par?

Je ne suis pas vraiment très forte en Math
Maude


Posted by: nox

je dirai 14!

on veut allé 7fois à gauche et 7 fois vers le bas dans n'importe quel ordre...

donc toutes les possibilités de permuter 14 mouvements -> 14!


Posted by: haydenstrauss

Je supose que on peut pas faire marche arriere sinon y'a une infinité de possibilité :(


Posted by: nox

ah oui j'ai pas pris ca en compte ^^

mais forcément sinon y a une infinité de possibilités...à moins de rajouter une hypothèse du genre "un seul passage par case"


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par nox
ah oui j'ai pas pris ca en compte ^^

mais forcément sinon y a une infinité de possibilités...à moins de rajouter une hypothèse du genre "un seul passage par case"

Ya pas que ça que t'as pas pris en compte ....
La tour est une piece dont le nombre de cases n'est pas limité.
2 mouvements peuvent suffire. Mais on peut en avoir 3 , 4.... 7

De plus, tu parles de 7 mouvements mais dans quel ordre ?

cette question est la meme que le nombre de courbe maxi dans le problème de courbe dominées ... yen a bien plus que 14 !


Posted by: nox

Citation:
Posté par Flodelarab
Ya pas que ça que t'as pas pris en compte ....
La tour est une piece dont le nombre de cases n'est pas limité.
2 mouvements peuvent suffire. Mais on peut en avoir 3 , 4.... 7

waip exact...mea culpa...mais alors là pour résoudre ça avec des maths niveau college ca me semble compromis (enfin de toute façon comme on l'a dit au dessus à moins d'avoir une hypothèse supplémentaire il y a une infinité de solution)
Citation:
Posté par Flodelarab
De plus, tu parles de 7 mouvements mais dans quel ordre ?

Par contre là je vois pas ton objection. Justement il faut considérer tous les ordres possibles. D'où les permutations.

Mais basta...j'ai dit nimp je le reconnais ^^


Posted by: nox

2eme tentative

si on considère qu'on ne fait pas marche arriere (ie qu'on ne se déplace que vers le bas et la gauche (ou droite je sais pu) )

la réponse ne serait-elle pas :

\sum_{i=1}^7{(i! \sum_{j=1}^7{j!})}


Posted by: Flodelarab

J'ai dit n'imp aussi: c plus facile que dénombrer les courbes possibles car on ne peut pas aller en diagonale.

On place donc 7 éléments parmi 14 indépendamment de l'ordre et sans répétitions
on a une combinaison 4$ C_{14}^7 = 3432

(les 7 éléments étaient évidemment "aller en bas" au milieu des "aller a droite")


Posted by: Flodelarab

Mais pareil, au niveau college c ardos...


Posted by: nox

Citation:
Posté par Flodelarab
J'ai dit n'imp aussi: c plus facile que dénombrer les courbes possibles car on ne peut pas aller en diagonale.

On place donc 7 éléments parmi 14 indépendamment de l'ordre et sans répétitions
on a une combinaison 4$ C_{14}^7 = 3432

(les 7 éléments étaient évidemment "aller en bas" au milieu des "aller a droite")


wai donc ca c'est aussi dans le cas où on se déplace que d'une case...je suis d'accord...

sinon ma solution plus générale au dessus t'en penses quoi ?
ca pue ?


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par nox
wai donc ca c'est aussi dans le cas où on se déplace que d'une case...


Niet! nicht! Nein!

Tu vois bien que si je choisis le 4 premiers et les 3 derniers et j'aurais avancé de 4 cases vers le bas, puis 7 cases à droite, puis 3 cases vers le bas ...
(c un exemple)

Je vois pas ou est mon mouvement de 1 case ?


Posted by: nox

ba expliques moi ton C^7_{14} alors parce que je ne vois pas d'où ca sort...

C'est quoi les 7 trucs que tu places parmi 14 ? et 14 ca représente quoi ?
si c'est le nombre total de déplacement c'est bien que tu considères une seule case par déplacement


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par nox
je dirai 14!

on veut allé 7fois à gauche et 7 fois vers le bas dans n'importe quel ordre...

donc toutes les possibilités de permuter 14 mouvements -> 14!

Voila un début de raisonnement interessant mais qui manque de méthode de dénombrement.

pkoi?
Déjà pasque tu dis toi meme que c sans ordre et tu me colles un arrangement! grrr
Ensuite, pasque permuter un "vers le bas" avec un "vers le bas", ça change rien. C le meme itinéraire.

Donc c 7 parmi 14 et pas 14 parmi 14 (ce qui fait 4$ A_{14}^{7} et pas 4$ A_{14}^{14}=14!) et en plus c une combinaison et pas un arrangement (4$ C_{14}^{7} au lieu de 4$ A_{14}^{7})

Ceci dit, j'ai repris ton raisonnement dans le sens où la tour fait 14 déplacement obligatoirement (elle ne recule pas), 7 dans chaque sens; on compte le nombre de positions possibles différentes de ces 7 éléments parmi les 14 places libres indépendamment de l'ordre et sans répétition, les 7 derniers se plaçant naturellement dans les cases restantes.

Enfin, on a parlé de nombres de cases par mouvements. Tu vois bien qu'une série de mouvements dans un sens équivaut a un mouvement de plusieurs cases d'un coup.


Posted by: haydenstrauss

je pense que en fait on peu faire 7 a droite 7 en haut

autre possibilité:6 a droite 6 puis un a droite et un a gauche

autre possibilité : 5 5 puis 22

jusqua 00 77

et on pe faire dabord a droite pius haut et dabord en haut et apres a droite donc il fau multipilie par 2

Heu y'a dautre possibilité mais je ne vois pas comment les compter.


Posted by: nox

Aaaaaaloooooors...nous disons donc :

Citation:
Posté par Flodelarab
Déjà pasque tu dis toi meme que c sans ordre et tu me colles un arrangement! grrr

j'ai pas dit qu'il n'y avait pas de notion d'ordre ! je disais simplement qu'aucun ordre n'est à exclure vu que toutes les combinaisons sont possibles (je DISAIS...ton argument suivant est juste ^^ donc je disais faux)
Citation:
Posté par Flodelarab
Ensuite, pasque permuter un "vers le bas" avec un "vers le bas", ça change rien. C le meme itinéraire.

wai exact. Tu m'en vois fort contrit.
Citation:
Posté par Flodelarab
Ceci dit, j'ai repris ton raisonnement dans le sens où la tour fait 14 déplacement obligatoirement (elle ne recule pas), 7 dans chaque sens; on compte le nombre de positions possibles différentes de ces 7 éléments parmi les 14 places libres indépendamment de l'ordre et sans répétition, les 7 derniers se plaçant naturellement dans les cases restantes.

Ouip c'est ce que t'as fait ok...mais tu consideres bien ici qu'il y a 14 déplacements ! alors que non il peut n y en avoir que 2 par exemple ! et cette combinaison n'est pas prise en compte dans ton dénombrement. C'est la même trajectoire mais chez toi elle apparait uniquement en tant que (7,7) et pas en tant que (2-2-2-1,7) par exemple. Il faut prendre en compte tout ca !
Citation:
Posté par Flodelarab
Enfin, on a parlé de nombres de cases par mouvements. Tu vois bien qu'une série de mouvements dans un sens équivaut a un mouvement de plusieurs cases d'un coup.

waip mais comme je l'ai dit plus haut même si ca revient au même il faut différencier ces cas !

Donc j'en reste à mon idée de sommes imbriquées indiquée plus haut


Posted by: nox

mon idée de sommes imbriquées est fausse aussi en fait du coup...à cause de ton 2eme argument grrrr

mais bon ^^


Posted by: Flodelarab

Aaaaaaloooooors...Aaaaaaloooooors...Aaaaaaloooooor s...

Citation:
Posté par nox
j'ai pas dit qu'il n'y avait pas de notion d'ordre !
Oh! le foutage de gueule. C bien la peine que je te cite texto! "Dans n'importe quel ordre!" est synonyme de "sans ordre" ... et "dans n'importe quel ordre!", c pas moi ki l'ai dit ... (avec un point d'exclamation en plus! Quel effronté!)

Citation:
Posté par nox
(2-2-2-1,7) par exemple.

Peux tu préciser ?
Chez moi, si tu va 2 fois a droite puis 2 fois a droite puis 2 fois a droite puis une fois a droite, c comme si tu allez 7 fois a droite
Explique moi ta vision


Posted by: nox

Dans n'importe quel ordre ne veut pas dire sans notion d'ordre pour moi !! (oui 2 points d'exclamation !! effronterie à son paroxysme)
Dans n'importe quel ordre veut dire que toutes les permutations sont possibles ! Qu'il n'y a pas de combinaison de déplacements impossible...
Sans notion d'ordre veut dire qu'on ne fait pas de différence entre 2 permutations !
Citation:
Posté par Flodelarab
Chez moi, si tu va 2 fois a droite puis 2 fois a droite puis 2 fois a droite puis une fois a droite, c comme si tu allez 7 fois a droite
Explique moi ta vision

Ba non pas chez moi. Si tu considères un jeu d'échec : tu vas en H8 en 2 coups c'est pas pareil que d'y aller en 14 ^^
Pour moi ce sont 2 possibilités différentes !

EDIT : j'ai oublié les aaaaaloooooooors mais le coeur y est !


Posted by: reistounette

J'ai oublié de vous dire qu'on peut se déplacer soit à droite soit en haut (pensez que c'est vous qui jouez)
Bisouxx


Posted by: nox

Oki donc ca rajoute l'hypothèse supplémentaire nécessaire !

je dirai en fait [\sum^7_{i=1}{(i\sum^7_{j=1}{j})}]!

on fait i déplacements vers la gauche (i de 1 à 7) et j vers le bas (j de 1 à 7) et ensuite on peut permuter tous ces déplacements entre eux...
ou alors ptetre que je commence à dire completement n'importe quoi ^^

EDIT : C'est n'importe quoi en effet


Posted by: reistounette

J'ai dit que je n'étais pas forte en Math...
Pourrais-t-expliquer??


Posted by: nox

Non désolé c'est encore faux en fait...

le problème c'est les permutations...il y a certains mouvements qu'on ne peut pas permuter comme l'a dit Flodelarab.

Et ca c'est relou...

En fait on a soit 1,2,3,4,5,6 ou 7 déplacements vers la droite, et pour chacun on a 1,2,3,4,5,6 ou 7 déplacements vers le bas.

Donc après il reste à voir comment placer les i déplacements vers le bas (par exemple) parmi les i+j déplacements.

Pour chaque possibilité on a i mouvement vers le bas et j vers la droite. Il faut donc multiplier par C^i_{i+j} pour placer les i parmi i+j

donc ca serait \sum_{i=1}^7{(\sum_{j=1}^{i}{jC^i_{i+j}})}

hem...t'en dis quoi Flo ?

EDIT : Sdec25 je sais que tu lis espece de chacal !!! donnes ton avis


Posted by: Flodelarab

cet exercice n'est pas niveau college de toute maniere !


Posted by: nox

wai voila

mais bon quand même...c'est pas mal la derniere réponse nan ?
moi jla sens bien !


Posted by: reistounette

Je suis en 4 eme est notre prof nous a donné ça à faire par 2.
On a vraiment pas trouvé.


Posted by: nox

En 4eme..............vous avez meme pas vu les combinaisons quoi...

alors là j'ai hate de voir la solution du prof !!


Posted by: reistounette

Nan... Mais ça vient peut-être que j'habitte en Suisse, nous aons pas les mêmes programmes... (en Suisse je suis en 8ème(vois forte)) Nous faisons ça en Maths renforcés...


Posted by: nox

ba wai mais là sans utiliser les combinaisons...

les factoriels vous savez ce que c'est ?


Posted by: reistounette

Nan jamais vu ça...Vraiment on sait pas comment faire...Parce que tout compté...


Posted by: nox

non ba au pire on fera le calcul...mais là honnetement donner une formule sans factoriel et sans combinaisons ca me parait impossible !!!

J'ai hate de connaître la solution mais j'y crois pas trop...

tu peux donner l'énoncé exact stp ? juste pour être sur...avec la formulation exacte de ton prof


Posted by: reistounette

Une tour de jeu d'echecs placée sur la case A1 doit se rendre à l case H8. Elle se déplace horizontalement vers la droite ou verticalement vers le haut. Combien d'itinéraires différents peut-elle emprunter??
Voilà


Posted by: nox

ahaaa donc c'est les itinéraires qu'on compte...pas les façons d'y aller...et l'ami Flodelarab avait donc raison ^^

La réponse était donc bien C^7_{14}, mais vous n'avez pas encore étudié cette notation...

pour répondre sans l'utiliser, et sans utiliser les factoriels c'est pas gagné...

la réponse serait en fait : \frac {1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6...14}{1^2\times 2^2...7^2}


Posted by: reistounette

Merci beaucoup je vais essayer de me débrouiller avec ça.
Quand j'aurai la réponse je viendrai la poster


Posted by: nox

normalement c'est juste...essayes de comprendre avec cette formule mais bon c'est pas facile à intuiter sans avoir jamais utilisé les factoriels.

Enfin si tu ne comprends pas on pourra toujours essayer de t'expliquer


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par reistounette
Merci beaucoup je vais essayer de me débrouiller avec ça.
Quand j'aurai la réponse je viendrai la poster


rappel: c'est 3432


Posted by: Flodelarab

AYééééééééééééééé

G trouvé maitresse!

Je sais comment on peut le faire simplement et efficacement avec les outils de collège.



Très chère reistounette, Google est ton ami!

indice supplémentaire: 1 seul itinéraire (meme s'il est composé de plusieurs coups) est possible pour chaque case de la colonne A et pour chaque case de la ligne 1

héhéhé


Posted by: nox

alors là cher collegue je vous tire mon chapeau certes mais au risque de paraitre lourd....

je vois pas comment elles vont expliquer (et comprendre) ca sans avoir jamais entendu parlé de combinaisons, permutations y tutti quanti...
pour moi le triangle de pascal c'est le triangle des coefficients binômiaux, qu'elles n'ont donc pas vu...

donc ?


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par nox
pour moi le triangle de pascal c'est le triangle des coefficients binômiaux, qu'elles n'ont donc pas vu...


Pour moi c un triangle dont chaque case est définie par la somme des 2 cases du dessus .... chacun sa vision




Posted by: nox

aaaaaaah oui...pfiuu...je m'incline et je ferme ma gueule


Posted by: reistounette

En faite en lisant ce que tu as di j'ai compri que nous avions fait le triangle de pascal l'année passé pas pour rien...!!! Maintenant j'ai tout compris merci beaucoup!!!


Posted by: Flodelarab

Le triangle de Pascal en 5eme ????

ya plus de jeunesse Nox ... ils sont plus intelligents que nous ...

et en plus ils se couchent aussi tard que nous ...


Posted by: Flodelarab

Bon ! J'aime pas rester sur un echec en dénombrement discret.

G donc perseverer dans mon idée de triangle de Pascal. Mais pour intégrer le nombre de coups.
(Attention reistounette, je ne reponds plus a ton probleme)

Et g complété, de la meme façon que celle que j'ai indiqué à reistounette, de telle sorte qu'on indique dans la case, le nombre de façon d'y arriver.
On a donc une matrice de terme générale 3$ a_{i,j} de sorte que:

3$ \{{pour (i,j)=(1,1) \qquad, \qquad a_{1,1} = 1 \\pour (i,j)\neq (1,1) \qquad,\qquad a_{i,j} = \sum_{k=1}^{i-1}a_{k,j} + \sum_{m=1}^{j-1}a_{i,m} }<br />

Ayant la flemme de calculer la forme générale de 3$ a_{i,j} en fonction de i et j, j'ai fait bosser excel.

Il y a 470010 façon d'arriver à H8


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par Flodelarab
Ayant la flemme de calculer la forme générale de 3$ a_{i,j} en fonction de i et j, j'ai fait bosser excel.


Je monologue.

Commet trouver la formule générale en fonction de i et j ?

3$ a_{i,j}=a_{j,i}
On ne considérera donc, dorénavant, que les i inférieurs aux j

3$ \{pour\qquad j\ge 1 \qquad,\qquad a_{1,j}=2^{j-2} \\ pour\qquad j\ge 2 \qquad,\qquad a_{2,j}=(j+2)2^{j-3} \\ pour\qquad j\ge n \qquad,\qquad a_{n,j}= ???


Qui a une idée ? Qui veut participer ?


Posted by: Clembou

Heu.... On est bien dans la partie collège, non ? Parce que là, vous nous sortez des opérations qu'on doit faire en classe de terminale voir supérieur. La première réponse était peut-être un peu plus simple non ?


Posted by: Flodelarab

Ok je déménage : ICI


Posted by: nox

moi sans vouloir faire le boulet je reste sur la solution que j'avais proposé

Citation:
Posté par nox
\sum_{i=1}^7{(\sum_{j=1}^{i}{jC^i_{i+j}})}











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